Integrali

Raccolta di appunti sul calcolo infinitesimale e analisi matematica: integrali

id Funzione Integrale
1 \(\displaystyle \int x^n dx\) con \(n \neq -1\) \(\displaystyle { {x^{n+1} } \over { n+1 } } + C\)
1.1 \(\displaystyle \int {}dx\) \(\displaystyle x + C\)
1.2 \(\displaystyle \int {x}dx\) \(\displaystyle { 1 \over 2 } x^2 + C\)
1.3 \(\displaystyle \int \sqrt{x}dx\) \(\displaystyle { 2 \over 3 } \sqrt{x^3} + C\)
1.5 \(\displaystyle \int { 1 \over {\sqrt{x}} }dx\) \(\displaystyle 2 \sqrt{x} + C\)
2 \(\displaystyle \int { 1 \over x} dx\) \(\displaystyle \ln \vert x \vert + C\)
2.1 \(\displaystyle \int { f'(x) \over f(x) } dx\) \(\displaystyle \ln \vert f(x) \vert + C\)
3 \(\displaystyle \int a^x dx\) \(\displaystyle { {a^x} \over { \ln a } } + C\)
3.1 \(\displaystyle \int e^x dx\) \(\displaystyle e^x + C\)
4 \(\displaystyle \int \log_a x dx\) \(\displaystyle x \log_a x - x log_a e + C\)
4.1 \(\displaystyle \int \ln x dx\) \(\displaystyle x \ln x - x + C\)
5 \(\displaystyle \int \sin x dx\) \(\displaystyle - \cos x + C\)
6 \(\displaystyle \int \cos x dx\) \(\displaystyle \sin x + C\)
7 \(\displaystyle \int \tan x dx\) \(\displaystyle - \ln \vert \cos x \vert + C\)
8 \(\displaystyle \int \cot x dx\) \(\displaystyle \ln \vert \sin x \vert + C\)
9 \(\displaystyle \int \sin ^2 x dx\) \(\displaystyle { 1 \over 2 } \left( x - \sin x \cos x \right) + C\)
10 \(\displaystyle \int \cos ^2 x dx\) \(\displaystyle { 1 \over 2 } \left( x + \sin x \cos x \right) + C\)
11 \(\displaystyle \int { 1 \over { \cos ^2 x} } dx\) \(\displaystyle \tan x + C\)
12 \(\displaystyle \int { 1 \over { \sin ^2 x} } dx\) \(\displaystyle - \cot x + C\)
13 \(\displaystyle \int { 1 \over { \sqrt{ 1 - x^2 } } } dx\) \(\displaystyle \arcsin x + C\)
14 \(\displaystyle \int { -1 \over { \sqrt{ 1 - x^2 } } } dx\) \(\displaystyle \arccos x + C\)
15 \(\displaystyle \int { 1 \over { 1 + x^2 } } dx\) \(\displaystyle \arctan x + C\)

id Integrale Regola di integrazione
1 \(\displaystyle \int { k f(x) } dx\) \(\displaystyle k \int { f(x) } dx\)
2 \(\displaystyle \int { f(x) + g(x) } dx\) \(\displaystyle \int { f(x) } dx + \int { g(x) } dx\)
3 \(\displaystyle \int { f(x) g'(x) } dx\) \(\displaystyle f(x) g(x) - \int { f'(x) g(x) } dx\) (integrazione per parti)

Nelle integrazioni per parti spesso conviene identificare:

Dati due polinomi \(N(x)\) e \(D(x)\) tali che il rapporto risulta in un quoziente \(Q(x)\) più un resto \(R(x)\):

\(\displaystyle { N \over D } = Q + R \)

Si ha che:

\(\displaystyle \int { N \over D } dx = \int \left( Q + { R \over D } \right) dx \)