Insiemi numerici

Raccolta di appunti sugli insiemi numerici: numeri naturali, numeri relativi, numeri razionali, numeri irrazionali e numeri reali

L'insieme dei numeri naturali si può definire così:

\[ \mathbb{N} = \{ \text{numeri interi positivi compreso lo zero} \}\]

Caratteristiche di \(\mathbb{N}\):

Operazioni in \(\mathbb{N}\):

L'insieme dei numeri relativi si può definire così:

\[ \mathbb{Z} = \{ \text{numeri interi positivi e negativi compreso lo zero} \}\]

Caratteristiche di \(\mathbb{Z}\):

Operazioni in \(\mathbb{Z}\):

Si introduce l'operatore "valore assoluto": applicare il valore assoluto ad un numero relativo significa considerare il numero senza segno (es.: \(\left\vert -8 \right\vert = 8\) e \(\left\vert 8 \right\vert = 8\) )

Esiste anche l'operatore "segno", quale preleva da un numero il suo segno, ed è definito come segue:

\[ sgn(a) = \begin{cases} +1 & \text{ se } a>0 \\ 0 & \text{ se } a=0 \\ -1 & \text{ se } a<0 \end{cases}\]

L'insieme dei numeri razionali si può definire così:

\[ \mathbb{Q} = \{ \text{numeri rappresentabili come frazioni} \}\]

Caratteristiche di \(\mathbb{Q}\):

Operazioni in \(\mathbb{Q}\):

Introducendo il concetto di frazione, è possibile rappresentare numeri non interi. Tale rappresentazione può essere fatta utilizzando la notazione decimale ("numeri con la virgola") o le frazioni. Affinchè un numero decimale sia un numero razionale, dev'essere possibile scriverlo come frazione.

Per convertire una frazione in un numero decimale è sufficiente eseguire la divisione tra numeratore e denominatore.

Per trasfomare un numero decimale limitato in una frazione è sufficiente scriverlo come frazione di potenze di 10 e semplificare la frazione. Es.:

\[ 2,345678 = { {2345678} \over {1000000} } = { {1172839} \over {500000} }\]

Per numeri decimali periodici e periodici misti, la frazione si costruisce ponendo a numeratore la differenza tra il numero senza la virgola (parte intera, antiperiodo e primo periodo) e la parte che precede il primo periodo (parte intera e antiperiodo) mentre a denominatore si scrivono tanti "9" quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti "0" quante sono le cifre dell'antiperiodo. Es.:

\[ 23,45 \overline{61} = { { 234561 - 2345 } \over { 9900 } } = { { 232216 } \over { 9900 } }\]

Si introduce l'insieme dei numeri irrazionali così definito:

\[ \mathbb{I} = \{ \text{numeri non rappresentabili come frazioni} \} = \{ \text{numeri con parte decimale nè finita nè periodica} \}\]

La necessità di definire i numeri irrazionali nasce già in epoca antica con il calcolo del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato. Oltre ai radicali non perfetti ( \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), ...) si possono elencare anche altri numeri detti trascendenti, ovvero non soluzioni di equazioni polinomiali, ( \(\pi\) , \(e\) , risultati di funzioni trigonometriche non razionali, risultati di logaritmi non razionali, ...).

Con l'introduzione dei numeri irrazionali di può definire l'insieme dei numeri reali:

\[ \mathbb{R} = \{ \text{tutti i numeri rappresentabili in forma decimale} \}\]

Caratteristiche di \(\mathbb{R}\):

Operazioni in \(\mathbb{Q}\):

Si possono scrivere le seguenti relazioni tra gli insiemi numerici:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\]

\[ \mathbb{I} \subset \mathbb{R}\]

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

TODO

Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998