Insiemi numerici

Raccolta di appunti sugli insiemi numerici: numeri naturali, numeri relativi, numeri razionali, numeri irrazionali e numeri reali

Numeri naturali ℕ

L'insieme dei numeri naturali si può definire così:

$$\mathbb{N} = \{ \text{numeri interi positivi compreso lo zero} \}$$

Caratteristiche di $\mathbb{N}$:

• ordinale: si può usare per disporre in ordine elementi (primo, secondo , terzo, ...)
• cardinale: si può usare per contare elementi (quanti oggetti sono presenti in un insieme)
• discreto: tra due numeri naturali consecutivi non esistono altri numeri naturali (es.: tra il 4 ed il 5 non ci sono altri numeri naturali)
• infinito positivo: i numeri interi positivi sono infiniti

Operazioni in $\mathbb{N}$:

• addizione: sempre possibile
• moltiplicazione: sempre possibile
• sottrazione: possibile solo se il minuendo è maggiore del sottraendo
• divisione intera: possibile ammettendo il resto (impossibile la divisione per 0)

Numeri relativi ℤ

L'insieme dei numeri relativi si può definire così:

$$\mathbb{Z} = \{ \text{numeri interi positivi e negativi compreso lo zero} \}$$

Caratteristiche di $\mathbb{Z}$:

• discreto: tra due numeri relativi consecutivi non esistono altri numeri relativi
• infinito: i numeri interi relativi sono infiniti in modo bidirezionale (sono infiniti i numeri negativi e sono infiniti i numeri positivi)

Operazioni in $\mathbb{Z}$:

• addizione: sempre possibile
• moltiplicazione: sempre possibile
• sottrazione: sempre possibile
• divisione intera: possibile ammettendo il resto (impossibile la divisione per 0)

Si introduce l'operatore "valore assoluto": applicare il valore assoluto ad un numero relativo significa considerare il numero senza segno (es.: $\left\vert -8 \right\vert = 8$ e $\left\vert 8 \right\vert = 8$ )

Esiste anche l'operatore "segno", quale preleva da un numero il suo segno, ed è definito come segue:

$$sgn(a) = \begin{cases} +1 & \text{ se } a>0 \\ 0 & \text{ se } a=0 \\ -1 & \text{ se } a<0 \end{cases}$$

Numeri razionali ℚ

L'insieme dei numeri razionali si può definire così:

$$\mathbb{Q} = \{ \text{numeri rappresentabili come frazioni} \}$$

Caratteristiche di $\mathbb{Q}$:

• continuo o denso: tra due numeri razionali consecutivi esistono infiniti altri numeri razionali
• infinito in modo bidirezionale: sono infinite le frazioni negative e sono infinite le frazioni positive

Operazioni in $\mathbb{Q}$:

• addizione: sempre possibile
• moltiplicazione: sempre possibile
• sottrazione: sempre possibile
• divisione: sempre possibile (impossibile la divisione per 0)

Introducendo il concetto di frazione, è possibile rappresentare numeri non interi. Tale rappresentazione può essere fatta utilizzando la notazione decimale ("numeri con la virgola") o le frazioni. Affinchè un numero decimale sia un numero razionale, dev'essere possibile scriverlo come frazione.

Dalle frazioni ai numeri decimali e viceversa

Per convertire una frazione in un numero decimale è sufficiente eseguire la divisione tra numeratore e denominatore.

Per trasfomare un numero decimale limitato in una frazione è sufficiente scriverlo come frazione di potenze di 10 e semplificare la frazione. Es.:

$$2,345678 = { {2345678} \over {1000000} } = { {1172839} \over {500000} }$$

Per numeri decimali periodici e periodici misti, la frazione si costruisce ponendo a numeratore la differenza tra il numero senza la virgola (parte intera, antiperiodo e primo periodo) e la parte che precede il primo periodo (parte intera e antiperiodo) mentre a denominatore si scrivono tanti "9" quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti "0" quante sono le cifre dell'antiperiodo. Es.:

$$23,45 \overline{61} = { { 234561 - 2345 } \over { 9900 } } = { { 232216 } \over { 9900 } }$$

Numeri reali ℝ

Si introduce l'insieme dei numeri irrazionali così definito:

$$\mathbb{I} = \{ \text{numeri non rappresentabili come frazioni} \} = \{ \text{numeri con parte decimale nè finita nè periodica} \}$$

La necessità di definire i numeri irrazionali nasce già in epoca antica con il calcolo del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato. Oltre ai radicali non perfetti ( $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ...) si possono elencare anche altri numeri detti trascendenti, ovvero non soluzioni di equazioni polinomiali, ( $\pi$ , $e$ , risultati di funzioni trigonometriche non razionali, risultati di logaritmi non razionali, ...).

Con l'introduzione dei numeri irrazionali di può definire l'insieme dei numeri reali:

$$\mathbb{R} = \{ \text{tutti i numeri rappresentabili in forma decimale} \}$$

Caratteristiche di $\mathbb{R}$:

• continuo o denso: tra due numeri razionali consecutivi esistono infiniti altri numeri reali
• infinito in modo bidirezionale: sono infiniti i numeri reali positivi e negativi
• completo: è possibile rappresentare i numeri reali su una retta orientata ed è anche possibile associare ad ogni punto della retta un numero reale.

Operazioni in $\mathbb{Q}$:

• addizione: sempre possibile
• moltiplicazione: sempre possibile
• sottrazione: sempre possibile
• divisione: sempre possibile (impossibile la divisione per 0)
• elevamento a potenza: sempre possibile con esponente intero
• radice di espoonente dispari: sempre possibile
• radice di esponente pari: possibile solo per numeri positivi o zero

Si possono scrivere le seguenti relazioni tra gli insiemi numerici:

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

$$\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$$

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Numeri complessi ℂ

TODO

Riferimenti

Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998