Polinomi

Introduzione al calcolo algebrico: polinomi ed operazioni con polinomi

Un polinomio è una sommatoria (addizione e/o sottrazione) di monomi detti termini del polinomio. Si possono applicare le denominazioni binomio, trinomio e quadrinomio ai polinomi costituiti rispettivamente da 2 termini, 3 termini e 4 termini.

Si definisce grado di un polinomio il massimo tra i gradi dei suoi termini.

Si definisce polinomio omogeneo un polinomio i cui termini sono tutti dello stesso grado.

Si definisce polinomio in forma ridotta un polinomio formato da monomi non simili. Se un polinomio contiene termini simili, è possibile ricondurlo alla forma ridotta addizionando tali termini simili.

La somma tra due polinomi si ottiene riscrivendo i termini dei due polinomi ciascuno con il proprio segno e sommando eventuali monomi simili.

La sottrazione tra due polinomi si ottiene riscrivendo i termini del minuendo con il proprio segno ed i termini del sottraendo con il segno opposto e sommando infine eventuali monomi simili.

In altre parole, se il segno davanti ad una parentesi che racchiude un polinomio è un '+', si possono togliere le parentesi conservando i segni. Se il segno davanti ad una parentesi che racchiude un polinomio è un '-', si possono togliere le parentesi invertendo tutti i segni.

Caso esempio 1 (somma):

\[ \left( 5x^2 y + 4 xy^2 - 3 xy \right) + \left( 2x^2 y - 3 xy^2 + 4 xy \right) = 5x^2 y + 4 xy^2 - 3 xy + 2x^2 y - 3 xy^2 + 4 xy\]

Caso esempio 2 (sottrazione):

\[ \left( 5x^2 y + 4 xy^2 - 3 xy \right) - \left( 2x^2 y - 3 xy^2 + 4 xy \right) = 5x^2 y + 4 xy^2 - 3 xy - 2x^2 y + 3 xy^2 - 4 xy\]

Caso esempio 3:

\[ - \left( 5x^2 y + 4 xy^2 - 3 xy \right) + \left( 2x^2 y - 3 xy^2 + 4 xy \right) = - 5x^2 y - 4 xy^2 + 3 xy + 2x^2 y - 3 xy^2 + 4 xy\]

La moltiplicazione tra polinomi si esegue applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. In altre parole, si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio. Si procede successivamente a sommare eventuali termini simili.

Caso esempio 1 (monomio per un polinomio):

\[ 2ab \cdot \left( 5x^2 y - 3 y \right) = 2ab \cdot 5x^2 y - 2ab \cdot 3 y = 10 a b x^2 y - 6 a b y \]

Caso esempio 1 (polinomio per un polinomio):

\[ \left( 2ab + 3xy \right) \cdot \left( 5x^2 y - 3 y \right) = 2ab \cdot \left( 5x^2 y - 3 y \right) + 3xy \cdot \left( 5x^2 y - 3 y \right) = 10 abx^2 y - 6 aby + 15 x^3 y^2 - 9 x y^2\]

L'elevamento a potenza con esponente naturale segue le regole dell'elevamento a potenza e della moltiplicazione. Pensando infatti alle definizioni, elevare alla potenza di un esponente naturale n un polinomio significa moliplicarlo per se stesso n volte.

Esempio 1 (quadrato):

\[ \left( 2x^2 y - y \right) ^ 2 = \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right)\]

Esempio 2 (cubo):

\[ \left( 2x^2 y - y \right) ^ 3 = \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right)\]

Esempio 3 (esponente 5):

\[ \left( 2x^2 y - y \right) ^ 5 = \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right) \cdot \left( 2x^2 y - y \right)\]

Rimangono valide le proprietà delle potenze.

Si può definire anche l'elevamento a potenza con esponente intero negativo, ma ciò comporta l'introduzione delle frazioni algebriche. In alcuni casi con esponente intero negativo si può procedere nel calcolo eseguendo la divisione tra polinomi.

Si può definire anche l'elevamento a potenza con esponente frazionario, ma ciò comporta l'introduzione dei radicali algebrici.

TODO

Alcune operazioni tra polinomi sono ricorrenti e risulta utile per velocizzare il calcolo memorizzare le espressioni dei risultati. Tali operazioni sono riconducibili a moltiplicazioni tra polinomi (binomi e trinomi) e sono estremamente utili nelle operazioni di scomposizione.

Quadrato del primo - quadrato del secondo = somma per differenza.

\[ \left( a^2 - b^2 \right) = \left( a + b \right) \left( a - b \right)\]

Quadrato di binomio = quadrato del primo + quadrato del secondo + doppio prodotto del primo per il secondo (attenzione ai segni per l'ultimo termine)

\[ \left( a + b \right)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\]

Cudo di binomio = cubo del primo + cubo del secondo + triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo + triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo (attenzione ai segni di tutti i termini)

\[ \left( a + b \right)^3 = a^3 + b^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2\]

Quadrato di trinomio = quadrato del primo + quadrato del secondo + quadrato del terzo + doppio prodotto primo per secondo + doppio prodotto primo per terzo + doppio prodotto secondo per terzo

\[ \left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

Quadrato di polinomio = somma dei quadrati di ciascun termine + doppio prodotto di ogni termine per ciascuno dei successivi

\[ \left( a + b + c + d + e \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de\]

\[ \left( a^3 + b^3 \right) = \left( a + b \right) \left( a^2 + b^2 - ab \right)\]

\[ \left( a^3 - b^3 \right) = \left( a - b \right) \left( a^2 + b^2 + ab \right)\]

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Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998