Limiti di funzione

Definizione, forme indeterminate, tecniche di risoluzione ed utilizzo dei limiti di funzione. Ricerca degli asintoti.

Definizione di limite

\[ \lim_{x \to c} { f(x) } = d\]

Le seguenti combinazioni non sono indeterminate ( con \(a \neq 0 \in \mathbb{R}\) ):

• \({ 0 \over a } = 0\)

• \({ a \over 0 } = \infty\)

• \({ \infty \over a } = \infty\)

• \({ a \over \infty } = 0\)

• \(a \cdot \infty = \infty\)

• \(a - \infty = - \infty\)

• \(\infty - a = + \infty\)

• \(0^a = 0\)

• \(a^0 = 1\)

Forme indeterminate

\(\left[ 0 \over 0 \right]\)

\(\left[ \infty \over \infty \right]\)

\(\left[ 0 \cdot \infty \right]\)

\(\left[ \infty - \infty \right]\)

\(\left[ 0^0 \right]\)

Tecniche di risoluzione di forme indeterminate

Fattorizzazione

Razionalizzazione

Teorema di de'Hopital

Asintoti

Data la funzione \(f(x)\) :

1. Se \(\lim_{x \to \pm \infty} { f(x) } = c\) con \(c \in \mathbb{R}\) allora \(f(x)\) ha un asintoto orizzontale di equazione \(y = c\)

2. Se \(\lim_{x \to c } { f(x) } = \pm \infty\) con \(c \in \mathbb{R}\) allora \(f(x)\) ha un asintoto verticale di equazione \(x = c\)

3. Se \(\lim_{x \to \pm \infty} { f(x) } = \pm \infty\) allora \(f(x)\) può avere un asintoto obliquo di equazione \(y = mx + q\). Bisogna verificare l'esistenza di \(m\) e di \(q\):

   \(m = \lim_{x \to \pm \infty} { { f(x) } \over { x } }\)

   \(q = \lim_{x \to \pm \infty} { f(x) - m x }\)

Esempi / Esercizi

Esercizio 1

\(\lim_{ x \to - \infty} { { e^ { x^2 } } \over { x^2 -1 } } = \left[ + \infty \over + \infty \right]\)

Si applichi il teorema di de l'Hopital:

\(\lim_{ x \to - \infty} { { 2x e^ { x^2 } } \over { 2x } } = + \infty\)

Esercizio 2

\(\lim_{ x \to + \infty} { { \ln \left( 1 + x^2 \right) } \over { e^ {x^2} } } = \left[ + \infty \over + \infty \right]\)

Si applichi il teorema di de l'Hopital:

\(\lim_{ x \to + \infty} { { {2x} \over {1+x^2} } { { 1 } \over { 2x e^ {x^2} } } } = 0^+\)

Esercizio 3

\(\lim_{ x \to - \infty} { x e^x } = \left[ - \infty \cdot 0^+ \right]\)

Conviene portare \(e^x\) a denominatore per poter applicare il teorema di de l'Hopital:

\(\lim_{ x \to - \infty} { { x } \over { e^{-x} } } = \lim_{ x \to - \infty} { { 1 } \over { -e^{-x} } } = 0^-\)

Esercizio 4

\(\lim_{ x \to 0^+ } { x^2 \ln (x) } = \left[ 0 \cdot \infty \right]\)

Conviene portare \(x^2\) a denominatore per poter applicare il teorema di de l'Hopital:

\(\lim_{ x \to 0^+ } { { \ln (x) } \over { x^{-2} } } = \lim_{ x \to 0^+ } { { 1 \over x } \over { -2 x^{-3} } } = \lim_{ x \to 0^+ } { { 1 \over x } { {x^{3}} \over {-2} } } = 0^-\)

Esercizio 5

\(\lim_{ x \to + \infty } { x e^ { - x^2} } = \left[ \infty \cdot 0 \right]\)

Conviene portare \(e^ { - x^2}\) a denominatore per poter applicare il teorema di de l'Hopital:

\(\lim_{ x \to + \infty } { { x } \over { e^ {x^2} } } = \lim_{ x \to + \infty } { { 1 } \over { 2x e^ {x^2} } } = 0^+\)

Esercizio 6

\(\lim_{ x \to 5 } { {x^2 - 4} \over { x - 5 } } = { {21} \over {0} } = \infty\)

Esercizio 7

\(\lim_{ x \to 5 } { {x^2 - 25} \over { x - 5 } } = { \left[ {0} \over {0} \right] }\)

Scomponendo il numeratore si semplifica un termine:

\(\lim_{ x \to 5 } { { \left( x + 5 \right) \left( x - 5 \right) } \over { x - 5 } } = \lim_{ x \to 5 } { { x + 5 } \over { 1 } } = { 10 }\)

Esercizio 8

\(\lim_{ x \to + \infty } { {2^x -1} \over { 2^x } } = { \left[ { \infty } \over { \infty } \right] }\)

Si fattorizzi \(2^x\) al numeratore:

\(\lim_{ x \to + \infty } { {2^x \left( 1 - { 1 \over {2^x}} \right) } \over { 2^x } } =\lim_{ x \to + \infty } { \left( 1 - { 1 \over {2^x}} \right) } = 1\)

Esercizio 9

\(\lim_{ x \to + \infty } { {\log_2 x + 1} \over { \log_2 x } } = { \left[ { \infty } \over { \infty } \right] }\)

Si fattorizzi \(\log_2 x\) al numeratore:

\(\lim_{ x \to + \infty } { { \log_2 x \left( 1 + {1 \over { \log_2 x } } \right) } \over { \log_2 x } } = \lim_{ x \to + \infty } { \left( 1 - { 1 \over { \log_2 x }} \right) } = 1\)

Esercizio 10

\(\lim_{ x \to + \infty } { {3x - 5} \over { 1 - 2x } } = { \left[ { \infty } \over { \infty } \right] }\)

Si fattorizzi \(x\) al numeratore ed al denominatore:

\(\lim_{ x \to + \infty } { {x \left( 3 - {5 \over x} \right) } \over { x \left( {1 \over x } - 2 \right) } } = - { 3 \over 2 }\)

Esercizio 11

\(\lim_{ x \to 2^+ } { \left( \ln \left( 2x - 4 \right) \right) } = - \infty\)

Esercizio 12

\(\lim_{ x \to - \infty } { {2x^5 - x^3 + x^4} \over { x^5 - 6 x^2 } } = { \left[ { \infty } \over { \infty } \right] }\)

Si fattorizzi \(x^5\) al numeratore ed al denominatore:

\(\lim_{ x \to - \infty } { { x^5 \left( 2 - { 1 \over {x^2}} + { 1 \over x} \right) } \over { x^5 \left( 1 - {6 \over {x^3 } } \right) } } = 2\)

Esercizio 13

\(\lim_{ x \to 1^+ } { \left( { \sqrt{2+x}} - {\sqrt{3}} \right) { {6} \over { \left( x-1 \right) ^2 } } } = \left[ { 0 \over 0 } \right]\)

Si razionalizzi con fattore \({\sqrt{2+x}} + {\sqrt{3}}\) a numeratore e denominatore:

\(\lim_{ x \to 1^+ } { \left( { \sqrt{2+x}} - {\sqrt{3}} \right) { {6} \over { \left( x-1 \right) ^2 } } { {{\sqrt{2+x}} + {\sqrt{3}} \over {{\sqrt{2+x}} + {\sqrt{3}}} } } }\)

Che permette, con qualche semplificazione di arrivare a:

\(\lim_{ x \to 1^+ } { { {6} \over { \left( x-1 \right) \left( {\sqrt{2+x}} + {\sqrt{3}} \right) } } } = + \infty\)

Esercizio 14

\(\lim_{ x \to 0 } { \left( 2 - \cot x \right) \left( \tan x \right) } = \left[ { \infty \cdot 0 } \right]\)

Si trasformino \(\cot x\) e \(\tan x\) nei rapporti tra \(\sin x\) e \(\cos x\) e si svolga la moltiplicazione:

\(\lim_{ x \to 0 } { \left( 2 - { { \cos x } \over { \sin x } } \right) { { \sin x } \over { \cos x } } } = \lim_{ x \to 0 } { \left( 2 { { \sin x } \over { \cos x } } - 1 \right) } = -1\)