Radicali

Descrizione e proprietà dei radicali ed delle espressioni raddicaliche.

TODO

Dato il radicale

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} = r \)

I radicali sono rappresentabili come potenze di esponente frazionario

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{ 1 \over n} \)

E più in generale:

\(\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{m \over n} \)

Le seguenti espressioni (scritte come somme, ma potrebbero essere riscritte come sottrazioni) non sono semplificabili o elaborabili in altre forme.

\(\displaystyle \sqrt[n]{a+b}\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} + \sqrt[m]{a}\)

Solo espressioni che non alterano in gruppo radicalico sono ammesse. Ad esempio:

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} + 3 \sqrt[n]{a} = 4 \sqrt[n]{a}\)

Basi uguali, esponenti diversi

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = {a^{1 \over n }} \cdot {a^{1 \over m }} = {a^{{1 \over n} + {1 \over m} } } = a^{ {m + n} \over { n m } } = \sqrt[n m]{a^{n+m}} \)

Basi diverse, esponenti uguali

\(\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b } \)

Basi uguali, esponenti diversi

\(\displaystyle { \sqrt[n]{a} \over \sqrt[m]{a} } = { {a^{1 \over n }} \over {a^{ 1 \over m } } } = {a^{1 \over n }} \cdot {a^{ - {1 \over m} }} = {a^{{1 \over n} - {1 \over m} } } = a^{ {n - m} \over { n m } } = \sqrt[n m]{a^{n - m}} \)

Basi diverse, esponenti uguali

\(\displaystyle { \sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b} } = \sqrt[n]{a \over b } \)

\(\displaystyle a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ a^n b } \)

Lo scopo della razionalizzazione del denominatore è quello di rimuovere l'espressione radicalica dal denominatore di una frazione in modo da semplificare l'espressione stessa.

Se il denominatore è un radicale "semplice", è possibile moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso il cui argomento abbia esponente diminuito di una unità:

\(\displaystyle { a \over \sqrt[n]{b} } = { a \over \sqrt[n]{b} } \cdot { \sqrt[n]{b^{n-1}} \over \sqrt[n]{b^{n-1}} } = { { a \cdot { \sqrt[n]{b^{n-1}} } } \over b } \)

Se il denominatore è una somma o sottrazione tra radici quadrate, è possibile sfruttare il prodotto notevole "somma per sottrazione":

\(\displaystyle { a \over { \sqrt{b} - c }} = { a \over { \sqrt{b} - c }} \cdot { { \sqrt{b} + c } \over { \sqrt{b} + c } } = { { a \cdot ( { \sqrt{b} + c } ) } \over { b - c^2 } } \)

Oppure

\(\displaystyle { a \over { \sqrt{b} + c }} = { a \over { \sqrt{b} + c }} \cdot { { \sqrt{b} - c } \over { \sqrt{b} - c } } = { { a \cdot ( { \sqrt{b} - c } ) } \over { b - c^2 } } \)

Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998