Geometria analitica

Raccolta di appunti di geometria analitica

Definizione di punto sul diagramma cartesiano:

\(P = ( x_P ; y_P )\)

Dati 2 punti \(A= (x_A ; y_A)\) e \(B= (x_B ; y_B)\), la distanza tra \(A\) e \(B\) lungo l'asse x (ascisse) è data da \(\Delta x = x_A - x_B\); mentre lungo l'asse y (ordinate) \(\Delta y = y_A - y_B\).

Siccome ascisse e ordinate del piano cartesiano sono ortogonali per definizione, allora \(\Delta x\) e \(\Delta y\) possono essere considerati cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenuza è il segmento \(\overline{AB}\). La misura di tale segmento corrisponde alla distanza tra i due punti ed è data secondo il teorema di Pitagora da:

\(\overline{AB} = \sqrt {(x_A - x_B) ^ 2 + (y_A - y_B) ^ 2 }\)

Dato il segmento \(\overline{AB}\) che congiunge i punti \(A= (x_A ; y_A)\) e \(B= (x_B ; y_B)\), si individua il punto medio \(M\) dalla media aritmetica delle ascisse e delle ordinate degli estremi:

\(M = \left( {{x_A - x_B} \over {2}} ; {{y_A - y_B} \over {2}} \right)\)

Equazione esplicita della retta:

\(y = m x + q\)

Equazione implicita della retta:

\(ax + by + c = 0\)

Dall'equazione implicita si isoli il termine contente \(y\): \(by = - ax - c\)

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per \(b\) si ottiene : \(by = - {a \over b} x - {c \over b}\)

Si ha quindi che

\(m = - { a \over b } \qquad q = - {c \over b }\)

Si definiscono \(m\) coefficiente angolare o pendenza della retta e \(q\) ordinata all'origine o intersezione con l'asse y.

Due rette sono paralle se hanno lo stesso coeffciente angolare \(m_1 = m_2\)

Due rette sono perpendicolari se hanno coefficiente angolare opposto e inverso: \(m_1 = - {1 \over m_2}\)

Retta parallela alle ascisse ( \(x\) ): \(y = q\)

Retta parallela alle ordinate ( \(y\) ): \(x = k\)

Bisettrice I-III quadrante: \(y = x\)

Bisettrice II-IV quadrante: \(y = -x\)

Dato il punto \(P = ( x_P ; y_P )\) . se una generica retta \(r : y = m x + q\) passa per tale punto o, in altri termini se \(P \in r\), allora le coordinate di \(P\) rispettano l'equazione di \(r\):

\(y_P = m x_P + q\)

Ponendo a sistema questa equazione con la generica equazione di \(r\), si ottiene:

\( \left\{ \begin{array}{l} y &= m x + q \\ y_P &= m x_P + q \end{array} \right. \)

Sottraendo dalla prima la seconda equazione si ha l'equazione del fascio di rette passante per \(P\):

\( y - y_P= m (x - x_P) \)

Si ricordi che questa equazione non comprende la retta verticale \(x = x_P\) appartenente anch'essa al fascio di rette per \(P\).

In alternativa si può definire un fascio di rette come spazio gemetrico dato dalla combinazione lineare di due rette generatrici e linearmente indipendenti:

\(k(ax + by + c) + h(a'x + b'y + c') = 0\) con \(k, h \in \mathbb{R}\)

Dati 2 punti \(A= (x_A ; y_A)\) e \(B= (x_B ; y_B)\), se una generica retta \(r : y = m x + q\) passa per tali punti o, in altri termini se \(A, B \in r\), allora le coordinate di \(A\) e di \(B\) rispettano l'equazione di \(r\):

\( \left\{ \begin{array}{l} y_A &= m x_A + q \\ y_B &= m x_B + q \end{array} \right. \)

Sottraendo dalla prima la seconda equazione si ha l'equazione del fascio di rette passante per \(P\):

\( y_A - y_B = m (x_A - x_B) \)

Da cui:

\( m = {{y_A - y_B} \over {x_A - x_B}} \)

Sostituendo \(m\) in una delle 2 equazione del sistema si ricava \(q\).

O in alternativa si può sostituire \(m\) nel fascio di rette passante per \(A\) (o per \(B\))

\(y - y_A= {{y_A - y_B} \over {x_A - x_B}} (x - x_A)\)

Ottenendo così l'equazione della retta passante per 2 punti:

\({{y - y_A} \over {y_A - y_B} } = {{x - x_A} \over {x_A - x_B}}\)

Date 2 rette \(r_1 : y = m_1 x + q_1\) ed \(r_2 : y = m_2 x + q_2\), la loro intersezione, se esiste, deve rispettare (o appartenere a) contemporaneamente entrambe le equazioni delle 2 rette. Pertanto l'intersezione sarà soluzione del sistema:

\( \left\{ \begin{array}{l} y &= m_1 x + q_1 \\ y &= m_2 x + q_2 \end{array} \right. \)

Dato un punto \(P = ( x_P ; y_P )\) e una retta \(r : y = m x + q\), la distanza \(d\) tra \(P\) ed \(r\) è data da:

\(d = { { \lvert {y_p-mx_p-q} \rvert } \over { \sqrt {1+m^2} } }\)

Oppure, usando la forma implicita \(r : ax + by + c = 0\), la distanza \(d\) tra \(P\) ed \(r\) è data da:

\(d = { { \lvert ax_p+by_p+c \rvert } \over { \sqrt {a^2+b^2} } }\)

L'asse di un segmento è la retta ortogonale al segmento e passante peril suopunto medio. Dato il segmento \(\overline{AB}\) che congiunge i punti \(A= (x_A ; y_A)\) e \(B= (x_B ; y_B)\), si ha:

Punto medio: \(M = \left( {{x_A - x_B} \over {2}} ; {{y_A - y_B} \over {2}} \right)\)

Coefficiente angolare del segmento \(\overline{AB}\): \(m_{AB} = {{y_A - y_B} \over {x_A - x_B}}\)

Coefficiente angolare della retta ortogonale ad \(\overline{AB}\): \(m_{\bot} = - { {1} \over {m_{AB}} } = - {{x_A - x_B} \over {y_A - y_B}}\)

Fascio di rette passante per \(M\): \(y - y_M= m (x - x_M)\)

Asse del segmento:

\( y - y_M= - {{x_A - x_B} \over {y_A - y_B}} (x - x_M) \)

Equazione generale (implicita) della parabola:

\(a x^2 + b y^2 + 2abxy + 2gx + 2fy + c = 0\)

Equazione esplicita della parabola con asse verticale (parallelo alle ordinate):

\(y = a x^2 + b x + c\)

La cui condizione di "esistenza" (altrimenti degenera in una retta) è \(a \ne 0\).

Le soluzioni \(x_1\) e \(x_2\) dell'equazione:

\(a x^2 + b x + c = 0\)

sono le intersezioni con l'asse delle ascisse. Essendo un'equazione di secondo grado, le soluzioni possono essere:

  1. due reali distinte: la parabola interseca l'asse x in 2 punti diversi.

  2. due reali coincidenti: la parabola tocca l'asse x in un solo punto (il vertice della parabola stessa).

  3. due complesse: non essendo soluzioni reali, la parabola non interseca l'asse x.

\(\Delta = b^2 - 4 ac\)

\(V = \left( - { b \over { 2a } } ; - { \Delta \over { 4a } } \right)\)

\(F = \left( - { b \over { 2a } } ; - { { 1 - \Delta } \over { 4a } } \right)\)

\(x = - { b \over {2a } }\)

\(y = { { 1 + \Delta } \over { 4a } }\)