Introduzione al calcolo algebrico. Unità fondamentali del calcolo letterale, i monomi, e le operazioni eseguibili su di essi.
A partire dalle formule di applicazione scientifica e tecnica si inizia a generalizzare espressioni matematiche con l'utilizzo di lettere in sostituzione dei numeri. Queste lettere prendono il nome di variabili mentre le parti numeriche sono costanti.
Nel calcolo letterale, invece di operare solamente sui numeri, si opera su costanti e variabili, quest'ultime come 'segnaposto' o 'in rappresentaza' di valori numerici.
Si ritiene importante sottolineare che, in una espressione, lettere uguali indicano numeri uguali, mentre lettere diverse possono indicare sia numeri diversi sia numeri uguali.
Un monomio è un'espressione contenente parti numeriche e letterali moltiplicate tra loro. Una definizione più rigorosa: espressione indicata con un numero finito di moltiplicazioni tra variabili e costanti.
In un nonomio la parte numerica prende il nome di coefficiente numerico. Il segno del monomio fa parte del coefficiente numerico.
Per eleganza e convenzione si usa scrivere le lettere della parte letterale in ordine alfabetico (sfruttando la prooprietà commutativa della moltiplicazione).
Le lettere possono avere esponenti interi (positivi o negativi). Nel caso in cui ci siano esponenti interi negativi, non si parla più di monomio, ma di frazione algebrica. Molte operazioni che si eseguono sui monomi si possono estendere facilmente alle frazioni algebriche.
Si definisce grado riferito ad una lettera l'esponente di tale lettera. Si definisce grado del monomio la somma degli esponenti di tutte le lettere.
Si definiscono monomi simili o omogenei i monomi con le parti letterali identiche (ogni lettera compresa del suo esponente) e che quindi possono essere differenti per il solo coefficiente numerico.
Due monomi si definiscono opposti se sono simili (stessa parte letterale) e se hanno coefficienti numerici opposto (stesso valore numerico assoluto ma di segno opposto).
La somma e la sottrazione tra monomi è possibile solo se i monomi coinvolti sono simili. In tale situazione, applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, si sommano (sottraggono) tra loro le parti numeriche, mantenendo la parte letterale invariata. Sommando o sottraendo così tra loro monomi simili si ottiene un solo monomio simile ai monomi di partenza, il cui coefficiente numerico è la somma (sottrazione) dei coefficienti numerici dei monomi di partenza.
La moltiplicazione tra monomi è sempre possibile: il risultato è un monomio il cui coefficiente numerico è dato dal prodotto dei coefficienti numerici dei monomi di partenza e la parte letterale è data dal prodotto delle parti letterali dei monomi di partenza.
La divisione tra monomi comporta la generazione di frazioni algebriche, che, per rigorosità matematica, escono dall'insieme dei monomi. Pertanto non sarebbe possibile definire l'operazione di divisione tra monomi. Introducendo l'esistenza delle frazioni algebriche è possibile definire la divisione tra monomi: il risultato è in generale una frazione algebrica il cui coefficiente numerico è dato dal rapporto dei coefficienti numerici dei monomi di partenza e la parte letterale è data dal rapporto delle parti letterali dei monomi di partenza.
L'elevamento a potenza con esponente intero di un monomio è possibile. Se l'esponente è positivo o zero si ottiene un nuovo monomio, se l'esponente è negativo si ottiene una frazione algebrica. Per il calcolo, l'esponente viene applicato al coefficiente numerico e ad ogni lettera della parte letterale seguendo le regole delle operazioni di elevamento a potenza.
I Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo tra monomi si possono calcolare se i coefficienti numerici sono numeri interi. Per eseguire l'operazione di M.C.D. (m.c.m.):
Il M.C.D. potrà tornare utile nelle fattorizzazioni tra polinomi, mentre il m.c.m. sarà sicuramente utilizzato per le operazioni con frazioni algebriche.
Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998