Equazioni algebriche

Raccolta di appunti sul calcolo algebrico: equazioni

Data una equazione di primo grado generica nella forma

\[ ax + b = 0\]

con \(a \neq 0\)

Si calcola la soluzione applicando semplici passaggi algebrici:

\[ x = - {b \over a}\]

Data una equazione di secondo grado generica nella forma

\[ ax^2 + bx + c = 0\]

con \(a \neq 0\)

Si calcoli \(\Delta\)

\[ \Delta = b^2 - 4ac\]

Si possono verificare 3 casi:

  1. \(\Delta \gt 0\) : 2 radici reali distinte. Si procede calcolando:

    \[ x_1 = { { -b + \sqrt{ \Delta } } \over {2a} }\]

    \[ x_2 = { { -b - \sqrt{ \Delta } } \over {2a} }\]

  2. \(\Delta = 0\) : una sola radice reale di molteplicità 2 (due radici reali coincindenti). Si procede calcolando:

    \[ x_{1,2} = - { { b } \over {2a} }\]

  3. \(\Delta \lt 0\) : 2 radici complesse coniugate. Si procede calcolando:

    \[ x_1 = - { b \over {2a} } + i { { \sqrt{ \Delta } } \over {2a} }\]

    \[ x_2 = - { b \over {2a} } - i { { \sqrt{ \Delta } } \over {2a} }\]

Data una equazione di terzo grado generica nella forma

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]

con \(a \neq 0\)

Si calcolino i termini \(p\) , \(q\) e \(\Delta\)

\[ p = - {1 \over 3} \left( {b \over a} \right) ^ 2 + {c \over a}\]

\[ q = {2 \over 27} \left( {b \over a} \right) ^ 3 - {1 \over 3} { {bc} \over {a^2} } + {d \over a}\]

\[ \Delta = {{q ^ 2} \over 4} + {{p ^ 3} \over 27}\]

Si possono verificare 3 casi:

  1. \(\Delta \gt 0\) : 1 radice reale e 2 radici complesse coniugate. Si procede calcolando:

    \[ u = \sqrt[3]{ - { q \over 2} + \sqrt{ \Delta } }\]

    \[ v = \sqrt[3]{ - { q \over 2 } - \sqrt{ \Delta } }\]

    \[ x_1 = u + v - { b \over {3a} }\]

    \[ x_2 = - { 1 \over 2 } x_1 - { b \over {3a} } + i \sqrt{ { 3 \over 2 } \left( u - v \right) }\]

    \[ x_3 = - { 1 \over 2 } x_1 - { b \over {3a} } - i \sqrt{ { 3 \over 2 } \left( u - v \right) } \]

  2. \(\Delta = 0\) : una sola radice reale di molteplicità 3 (tre radici reali coincindenti). Si procede calcolando:

    \[ u = v = \sqrt[3]{ - { q \over 2} }\]

    \[ x_{1,2,3} = u + v - { b \over {3a} } = 2 u - { b \over {3a} }\]

  3. \(\Delta \lt 0\) : 3 radici reali. Si procede calcolando:

    \[ u = 2 \sqrt{ - {p \over 3} }\]

    \[ \begin{cases} v = arctg \left( -2 { \sqrt{- \Delta} \over q} \right) & \text{ se } { - {q \over 2} \gt 0 } \\ v = \pi + arctg \left( -2 { \sqrt{- \Delta} \over q} \right) & \text{ se } { - {q \over 2} \lt 0 } \\ \end{cases}\]

    \[ x_1 = u \cdot cos \left( {v \over 3} \right) - { b \over {3a} }\]

    \[ x_2 = u \cdot cos \left( { { v + 2 \pi } \over 3 } \right) - { b \over {3a} }\]

    \[ x_3 = u \cdot cos \left( { {v + 4 \pi } \over 3 } \right) - { b \over {3a} }\]

TODO

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Maraschini W., Palma M., "Format. La formazione matematica per il biennio. Manuale B1", ed. Paravia, 1998