BrNk
Integrale
Integrale di espressione logaritmica
\(\displaystyle \int { \ln \left( 2x + 1 \right) } dx \)
Soluzione:
\(\displaystyle \int { \ln \left( 2x + 1 \right) } dx = \)
Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:
\(f(x) = \ln \left( 2x + 1 \right)\) da cui \(f'(x) = { 2 \over { 2x + 1 } }\)
\(g'(x) = 1\) da cui \(g(x) = x\)
Applicando la regola di integrazione per parti:
\(\displaystyle = x \ln \left( 2x + 1 \right) - \int { { 2 \over { 2x + 1 } } x } dx = \)
\(\displaystyle = x \ln \left( 2x + 1 \right) - \int { { { 2 x } \over { 2x + 1 } } } dx = \)
Sull'integrale rimanente
\(\displaystyle \int { { { 2 x } \over { 2x + 1 } } } dx \)
si sostituisca
\(\displaystyle t = 2x + 1 \)
da cui si ricava
\(\displaystyle 2x = t - 1 \)
ed inoltre
\(dt = 2 dx\) e quindi \(dx = { dt \over 2 }\)
Si ha quindi:
\(\displaystyle \int { { { 2 x } \over { 2x + 1 } } } dx = \int { { { t - 1 } \over { t } } } { dt \over 2 } = \)
\(\displaystyle = \int \left( { { { t } \over { 2 t } } - { 1 \over 2t } } \right) dt = \)
\(\displaystyle = \int \left( { { 1 \over 2 } - { 1 \over 2t } } \right) dt = \)
\(\displaystyle = \int { { 1 \over 2 } } dt - \int { { 1 \over 2t } } dt = \)
\(\displaystyle = { 1 \over 2 } t - { 1 \over 2 } \ln \vert t \vert = \)
Ripristinando la sostituzione precedente:
\(\displaystyle = { 1 \over 2 } \left( 2x + 1 \right) - { 1 \over 2 } \ln \vert 2x + 1 \vert \)
Ritornando alla soluzione dell'esercizio:
\(\displaystyle = x \ln \left( 2x +1 \right) - { 1 \over 2 } \left( 2x + 1 \right) + { 1 \over 2 } \ln \vert 2x + 1 \vert + C = \)
Quindi:
\(\displaystyle = \left( x + { 1 \over 2 } \right) \ln \left( 2x +1 \right) - \left( x + { 1 \over 2 } \right) + C = \)
Ed infine:
\(\displaystyle = \left( x + { 1 \over 2 } \right) \left[ \ln \left( 2x +1 \right) - 1 \right] + C \)