Integrale

Integrale di espressione esponenziale fratta

\(\displaystyle \int { { - 3 e^x } \over { \left( e^x + 2 \right) ^2 } } dx \)

\(\displaystyle \int { { - 3 e^x } \over { \left( e^x + 2 \right) ^2 } } dx = \)

Si applichi la sostituzione seguente:

\(\displaystyle t = e^x \)

Da cui:

\(\displaystyle dt = e^x dx \)

\(\displaystyle dx = {dt \over {e^x}} = {dt \over t} \)

Si ottiene quindi:

\(\displaystyle = \int { { - 3 t } \over { \left( t + 2 \right) ^2 } } {dt \over t} = \)

\(\displaystyle = -3 \int { { 1 } \over { \left( t + 2 \right) ^2 } } dt = \)

Ed ancora si applichi la sostituzione seguente:

\(\displaystyle u = t + 2 \)

Da cui:

\(\displaystyle du = dt \)

Si ottiene quindi:

\(\displaystyle = -3 \int { { 1 } \over { u ^2 } } du = -3 \int { u ^{-2} } du = \)

\(\displaystyle = 3 u ^{-1} + C = { 3 \over { u } } + C = \)

E ripristinando le sostituzioni:

\(\displaystyle = { 3 \over { t + 2 } } + C = \)

\(\displaystyle = { 3 \over { e^x + 2 } } + C \)