Integrale

Integrale di espressione polinomiale fratta

\(\displaystyle \int { { 6 x^3 + 16 x } \over { 3 x^2 - 1 } } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { { 6 x^3 + 16 x } \over { 3 x^2 - 1 } } dx = \)

Si può applicare la regola di integrazione del rapporto tra polinomi, identificando

\(\displaystyle N(x) = 6 x^3 + 16 x \)

\(\displaystyle D(x) = 3 x^2 - 1 \)

Si calcoli quindi il quoziente ed il resto

\(\displaystyle { N \over D } = Q + R \)

Ovvero:

\(\displaystyle \begin{array}{rrrr|ll} 6 x^3 & + 0 x^2 & + 16 x & + 0 & 3 x^2 & -1 \\ 6 x^3 & + 0 x^2 & - 2 x & & 2 x & \\ \hline & & 18 x & + 0 & & \\ \end{array} \)

Da cui si ha che:

\(\displaystyle Q = 2 x \)

\(\displaystyle R = 18 x \)

L'integrale diventa quindi:

\(\displaystyle = \int \left( { 2 x + { { 18 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } \right) dx = \)

\(\displaystyle = \int { 2 x } dx + \int { { { 18 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } dx = \)

\(\displaystyle = \int { 2 x } dx + 3 \int { { { 6 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } dx = \)

\(\displaystyle = x^2 + 3 \ln \vert 3 x^2 - 1 \vert + C \)