Integrale

Integrale di espressione polinomiale fratta

$\displaystyle \int { { 6 x^3 + 16 x } \over { 3 x^2 - 1 } } dx$

Soluzione:

$\displaystyle \int { { 6 x^3 + 16 x } \over { 3 x^2 - 1 } } dx =$

Si può applicare la regola di integrazione del rapporto tra polinomi, identificando

$\displaystyle N(x) = 6 x^3 + 16 x$

$\displaystyle D(x) = 3 x^2 - 1$

Si calcoli quindi il quoziente ed il resto

$\displaystyle { N \over D } = Q + R$

Ovvero:

$\displaystyle \begin{array}{rrrr|ll} 6 x^3 & + 0 x^2 & + 16 x & + 0 & 3 x^2 & -1 \\ 6 x^3 & + 0 x^2 & - 2 x & & 2 x & \\ \hline & & 18 x & + 0 & & \\ \end{array}$

Da cui si ha che:

$\displaystyle Q = 2 x$

$\displaystyle R = 18 x$

L'integrale diventa quindi:

$\displaystyle = \int \left( { 2 x + { { 18 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } \right) dx =$

$\displaystyle = \int { 2 x } dx + \int { { { 18 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } dx =$

$\displaystyle = \int { 2 x } dx + 3 \int { { { 6 x } \over { 3 x^2 - 1 } } } dx =$

$\displaystyle = x^2 + 3 \ln \vert 3 x^2 - 1 \vert + C$