Studio di funzione

Funzione con esponenziali

\(\displaystyle y= { {x^2} \over { e^{ 2x} } } \)

\(e^{ 2x} \neq 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)

Dominio: \(\left( - \infty ; + \infty \right)\)

\(f(-x) = { {(-x)^2} \over { e^{ -2x} } } \neq f(x)\) perciò non è pari

\(-f(-x) = - { {(-x)^2} \over { e^{ -2x} } } \neq f(x)\) perciò non è dispari

Intersezioni con l'asse x (zeri):

\( \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ y= { {x^2} \over { e^{ 2x} } } \end{array} \right. \)

Da cui

\({ {x^2} \over { e^{ 2x} } } = 0\) \(\Rightarrow x=0\)

Intersezioni con l'asse x per \(x=0\).

Intersezioni con l'asse y:

\( \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y= { {x^2} \over { e^{ 2x} } } \end{array} \right. \)

Da cui

\(y(0) = { {0^2} \over { e^{ 2 \cdot 0} } } = 0\)

Intersezioni con l'asse x per \(y=0\).

\(y \gt 0\) quindi \({ {x^2} \over { e^{ 2x} } } \gt 0\)

Studiando separatamente numeratore e denominatore:

\(x^2 \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \neq 0 \in \mathbb{R}\)

\(e^{ 2x} \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)

            0    
     +++++++|+++++++
     +++++++|+++++++
        +       +

\[ \lim_{ x \to - \infty} { { {x^2} \over { e^{ 2x} } } } = { {+ \infty} \over { 0^+ } } = + \infty\]

Possibile asintoto obliquo.

\[ m = \lim_{ x \to - \infty} { {f(x)} \over {x} } = \lim_{ x \to - \infty} { { {x^2} \over { e^{ 2x} } } \cdot { 1 \over x } } = { {- \infty} \over { 0^+ } } = - \infty\]

Non c'è asintoto obliquo per \(x \to - \infty\)

\[ \lim_{ x \to + \infty} { { {x^2} \over { e^{ 2x} } } } = { \left[ {+ \infty} \over { + \infty } \right] }\]

Applicando il teorema di De l'Hopital o ragionando sull'ordine degli infiniti

\[ \lim_{ x \to + \infty} { { {x^2} \over { e^{ 2x} } } } = \lim_{ x \to + \infty} { { {2x} \over { 2 e^{ 2x} } } } = \lim_{ x \to + \infty} { { {2} \over { 4 e^{ 2x} } } } = 0^+\]

Quindi asintoto orizzontale di equazione \(y = 0\)

\( y'= { {2x e^{2x} - x^2 2e^{2x} } \over {e^{4x}} } \)

Semplificando:

\[ y' = { {2x \left( 1 - x \right) } \over {e^{2x}} }\]

\( \left\{ \begin{array}{l} y' = 0 \\ y' = { {2x \left( 1 - x \right) } \over {e^{2x}} } \end{array} \right. \)

Da cui

\({ {2x \left( 1 - x \right) } \over {e^{2x}} } = 0\)

Solo il numeratore può annullarsi:

\(2x \left( 1 - x \right) = 0\)

Per cui \(x=0\) e \(x=1\) annullano la derivata prima.

\(y' \gt 0\) quindi \({ {2x \left( 1 - x \right) } \over {e^{2x}} } \gt 0\)

Bisogna studiare due termini separatamente e combinare insieme i segni:

\(2x \gt 0\) \(\Rightarrow x \gt 0\)

\(1 - x \gt 0\) \(\Rightarrow x \lt 1\)

\(e^{2x} \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)

            0       1
     -------|+++++++|+++++++
     +++++++|+++++++|-------
     +++++++|+++++++|+++++++
        -   |   +   |   -
       Dec.   Cres.    Dec.

Quindi \(x=0\) è un minimo e \(x=1\) è un massimo.

\( y'' = { { \left( 2-4x \right) e^{2x} - \left(2x -2x^2 \right) 2 e^{2x} } \over { e^{4x}} } \)

Semplificando:

\[ y'' = { { 4x^2 - 8x +2 } \over { e^{2x}} } \]

\( \left\{ \begin{array}{l} y'' = 0 \\ y'' = { { 4x^2 - 8x +2 } \over { e^{2x}} } \end{array} \right. \)

Da cui

\({ { 4x^2 - 8x +2 } \over { e^{2x}} } = 0\)

Può annullarsi solo il numeratore:

\({ { 4x^2 - 8x +2 } } = 0\)

\(x_{1,2} = { {4 \pm \sqrt{16-8}} \over {4} } = 1 \pm { { \sqrt{2} } \over {2} }\)

Per \(x_{1,2} = 1 \pm { { \sqrt{2} } \over {2} }\) si hanno flessi obliqui (non essendo zeri anche per la derivata prima).

\(y'' \gt 0\) quindi \({ { 4x^2 - 8x +2 } \over { e^{2x}} } \gt 0\)

Bisogna studiare il segno dei termini separatamente e combinarli insieme:

\({ 4x^2 - 8x +2 } \gt 0\) \(\Rightarrow x \lt \left( 1 - { { \sqrt{2} } \over {2} } \right) \lor x \gt \left( 1 + { { \sqrt{2} } \over {2} } \right)\)

\({ e^{2x}} \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\) 

           x1       x2    
     +++++++|-------|+++++++
     +++++++|+++++++|+++++++
        +   |   -   |   +
       Up     Down     Up

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