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Studio si funzione
Schema e procedura per lo studio di funzione.
Data la funzione generica \(f(x)\) si procede con i seguenti punti per svilupparne lo studio:
- Dominio
- Pari/Dispari
- Intersezioni con gli assi
- Segno della funzione
- Limiti
- Derivata prima
- Derivata seconda
- Grafico
Si combinano le condizioni di esistenza (C.E.) di tutte le parti della funzione e della funzione stessa.
| Tipo di funzione | C. E. | Esempio |
|---|---|---|
| polinomiale | nessun vincolo | \(y = x^3 + x^2\) DOM: \(\forall x \in \mathbb{R}\) oppure \(\left( - \infty ; + \infty \right)\) |
| frazione algebrica | denominatore diverso da zero | \(y = { 1 \over x }\) DOM: \(x \neq 0\) oppure \(\left( - \infty ; 0 \right) \cup \left( 0 ; + \infty \right)\) |
| ragicale di indice pari | argomento del radicale non negativo | \(y = \sqrt{x}\) DOM: \(x \ge 0\) oppure \(\left[ 0 ; + \infty \right)\) |
| logaritmo | argomento del logaritmo positivo | \(y = \ln (x)\) DOM: \(x \gt 0\) oppure \(\left( 0 ; + \infty \right)\) |
Verificare se la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse y, \(f(x) = f(-x)\) ), o se la funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine, \(f(x) = -f(-x)\) )
Valutare eventuali:
-. Intersezioni con l'asse x (zeri): si pone \(y = 0\) ovvero \(f(x) = 0\) -. Intersezioni con l'asse y: si pone \(x = 0\) ovvero \(y = f(0)\)
Si pone \(y \gt 0\) ovvero \(f(x) \gt 0\). Si può anche usare il "\(\ge\)" inglobando la ricerca degli zeri. Si può anche usare "\(\lt\)" oppure "\(\le\)" se si vuole evidenziare dove la funzione è negativa.
In base ai vincoli sul dominio, indagare la funzione quando tende agli estremi degli intervalli individuati dal dominio. I limiti permettono di individuare gli asintoti.
Dato \(a \in \mathbb{R}\), tipicamente non appartenente al dominio della funzione, se la funzione presenta il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{ x \to a } { f(x) } = \infty \)
Allora per \(x = a\) passa un asintoto verticale. Sono quindi da indagare i limiti destro \(x \to a^-\) e sinistro \(x \to a^+\) per capire il comportamento della funzione intorno a questo asintoto.
\(\displaystyle \lim_{ x \to a^- } { f(x) } = ? \)
\(\displaystyle \lim_{ x \to a^+ } { f(x) } = ? \)
Se la funzione presenta il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{ x \to - \infty } { f(x) } = b\) con \(b \in \mathbb{R}\)
Allora per \(y = b\) passa un asintoto orizzontale destro.
Se la funzione presenta il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{ x \to + \infty } { f(x) } = b\) con \(b \in \mathbb{R}\)
Allora per \(y = b\) passa un asintoto orizzontale sinistro.
Se la funzione presenta il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{ x \to - \infty} { f(x) } = \infty \)
Si provi a calcolare:
\( m_1 = \lim_{ x \to - \infty} { { f(x) } \over x } \)
\( q_1 = \lim_{ x \to - \infty} { { f(x) } - m_1 x } \)
Se \(m_1 , q_1 \in \mathbb{R} , m_1 \ne 0\) allora esiste un asintoto obliquo sinistro di equazione \(y = m_1 x + q_1\)
Se la funzione presenta il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{ x \to + \infty} { f(x) } = \infty \)
Si provi a calcolare:
\( m_2 = \lim_{ x \to + \infty} { { f(x) } \over x } \)
\( q_2 = \lim_{ x \to + \infty} { { f(x) } - m_2 x } \)
Se \(m_2 , q_2 \in \mathbb{R} , m_2 \ne 0\) allora esiste un asintoto obliquo destro di equazione \(y = m_2 x + q_2\)
Dopo aver ricavato la derivata prima si procede a studiarla:
-. Zeri della derivata prima: si pone \(y' = 0\) ovvero \(f'(x) = 0\) . Permette di individuare massimi, minimi e flessi orizzonali semza però distinguerli tra loro.
-. Segno della derivata prima: si pone \(y' \gt 0\) ovvero \(f'(x) \gt 0\) . Permette di studiare le monotonie della funzione e quindi distinguere tra loro massimi, minimi e flessi orizzontali.
Dopo aver ricavato la derivata seconda si procede a studiarla:
-. Zeri della derivata seconda: si pone \(y'' = 0\) ovvero \(f''(x) = 0\) . Permette di individuare i flessi orizzonali e obliqui semza però distinguerli tra loro. Saranno flessi orizzontali se individuati anche dallo studio della derivata prima, saranno flessi obliqui se
-. Segno della derivata seconda: : si pone \(y'' \gt 0\) ovvero \(f''(x) \gt 0\) . Permette di studiare le concavità della funzione.
Si combinano insieme le informazioni raccolte nei punti precedenti per tracciare il grafico della funzione. Può essere necessario alcolare alcuni punti significativi per ottenere una rappressentazione corretta. Per esempio è utile calcolare le coordinate y di massimi, minimi e flessi.