Logica matematica

Raccolta di appunti sulla simbologia, sulle definizioni e sulle regole logiche per il linguaggio matematico

Terminologia e definizioni

Implicazione semplice

Se ipotesi allora tesi

Se premessa allora conseguenza

$\displaystyle P \Rightarrow Q$ $P$ implica $Q$

Implicazione doppia o equivalenza logica

Affermazione 1 se e solo se affermazione 2

$\displaystyle P \Leftrightarrow Q$

L'implicazione deve avere:

Carattere di universalità. Per negare un'implicazione è necessario e sufficiente un singolo caso negativo.
Dimostrazione che ne espliciti la validità.

Esempio 1:

$\displaystyle P= \left\{ a \text{ è un quadrato } \right\}$

$\displaystyle Q= \left\{ a \text{ ha le diagonali uguali } \right\}$

$\displaystyle P \Rightarrow Q$

Ma non è sempre vero il contrario, pertanto:

$\displaystyle \require{cancel} Q \cancel{ \Rightarrow } P$

Si tratta pertando di un'implicazione semplice

Esempio 2:

$\displaystyle P= \left\{ a \text{ è un triangolo equilatero} \right\}$

$\displaystyle Q= \left\{ a \text{ è un triangolo equiangolo} \right\}$

$\displaystyle P \Rightarrow Q$

Ma è anche vero che

$\displaystyle Q \Rightarrow P$

Perciò:

$\displaystyle P \Leftrightarrow Q$

Si tratta pertanto di un'implicazione doppia o equivalenza logica

Gli enunciati sono la sintesi di un ragionamento più o meno complesso. Si possono distinguere:

Teorema: proposizione 'importante'
Corollario: proposizione conseguenza di un altro enunciato più importante
Lemma: proposizione di carattere preparatorio per arrivare a proposizioni più importanti

TODO