Logica matematica

Raccolta di appunti sulla simbologia, sulle definizioni e sulle regole logiche per il linguaggio matematico

Terminologia e definizioni

Implicazione semplice

Se ipotesi allora tesi

Se premessa allora conseguenza

\(\displaystyle P \Rightarrow Q\) \(P\) implica \(Q\)

Implicazione doppia o equivalenza logica

Affermazione 1 se e solo se affermazione 2

\(\displaystyle P \Leftrightarrow Q\)

L'implicazione deve avere:

Carattere di universalità. Per negare un'implicazione è necessario e sufficiente un singolo caso negativo.
Dimostrazione che ne espliciti la validità.

Esempio 1:

\(\displaystyle P= \left\{ a \text{ è un quadrato } \right\} \)

\(\displaystyle Q= \left\{ a \text{ ha le diagonali uguali } \right\} \)

\(\displaystyle P \Rightarrow Q\)

Ma non è sempre vero il contrario, pertanto:

\(\displaystyle \require{cancel} Q \cancel{ \Rightarrow } P\)

Si tratta pertando di un'implicazione semplice

Esempio 2:

\(\displaystyle P= \left\{ a \text{ è un triangolo equilatero} \right\} \)

\(\displaystyle Q= \left\{ a \text{ è un triangolo equiangolo} \right\} \)

\(\displaystyle P \Rightarrow Q\)

Ma è anche vero che

\(\displaystyle Q \Rightarrow P\)

Perciò:

\(\displaystyle P \Leftrightarrow Q\)

Si tratta pertanto di un'implicazione doppia o equivalenza logica

Gli enunciati sono la sintesi di un ragionamento più o meno complesso. Si possono distinguere:

Teorema: proposizione 'importante'
Corollario: proposizione conseguenza di un altro enunciato più importante
Lemma: proposizione di carattere preparatorio per arrivare a proposizioni più importanti

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