Derivate

Raccolta di appunti sul calcolo infinitesimale e analisi matematica: derivate

Si deffinisce derivata \(f'(x)\) della funzione \(f(x)\) come limite (quando esiste) del rapporto incrementale con incremento \(h\) tendente a zero:

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]

Geometricamente \(f'(x_0)\) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente a \(f(x)\) per \(x = x_0\) . Ovvero:

\( { { y - f(x_0) } \over { x - x_0 } } = f'(x_0) \)

Si definisce derivata sinistra:

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0^-} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]

E derivata destra:

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0^+} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]

La derivata prima \(f'(x)\) indica dove una funzione \(f(x)\) è crescente o decrescente:

  1. Se \(f'(x_0) \gt 0\) , \(f(x_0)\) è crescente
  2. Se \(f'(x_0) \lt 0\) , \(f(x_0)\) è decrescente
  3. Se \(f'(x_0) = 0\) , \(f(x_0)\) è un estremo (massimo, minimo o flesso orizzontale)

Studiando gli zeri ed il segno della derivata prima si possono individuare punti di massimo, minimo o flessi orizzontali. Dato un punto \(x_0\) in cui si annulla la derivata prima, si possono avere i seguenti casi:

  1. prima di \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\), allora \(x_0\) è un massimo

  2. prima di \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\), allora \(x_0\) è un minimo

  3. prima di \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\), allora \(x_0\) è un flesso orizzontale ascendente

  4. prima di \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\), allora \(x_0\) è un flesso orizzontale discendente

La derivata seconda \(f''(x)\) indica la concavità di una funzione \(f(x)\). Studiando gli zeri ed il segno della derivata seconda si possono individuare i flessi sia orizzontali, sia obliqui. Si possono avere i seguenti casi:

  1. Se \(f''(x_0) \gt 0\) , \(f(x_0)\) ha concavità verso l'alto
  2. Se \(f''(x_0) \lt 0\) , \(f(x_0)\) ha concavità verso il basso
  3. Se \(f''(x_0) = 0\) , \(f(x_0)\) è un punto di inversione di concavità (flesso orizzontale o flesso obliquo)

id Funzione Derivata
1 \(kx^{\alpha}\) con \(k, \alpha \in \mathbb{R}\) \(\alpha kx^{ \alpha -1}\)
1.1 \(k\) \(0\)
1.2 \(x\) \(1\)
1.3 \(\sqrt{x}\) \(1 \over { 2 \sqrt{x} }\)
1.4 \(\sqrt[n]{x}\) con \(n \gt 0 , n \in \mathbb{N}\) \(1 \over { n \sqrt[n]{ x^{n-1} } }\)
2 \(\sin (x)\) \(\cos (x)\)
3 \(\cos (x)\) \(- \sin(x)\)
4 \(\tan (x)\) \(1 + \tan ^2(x) = { 1 \over { \cos ^2(x) } }\)
5 \(\cot (x)\) \(-1- \cot ^2(x) = - { 1 \over { \sin ^2(x) } }\)
6 \(\arcsin (x)\) \({ 1 \over { \sqrt{1-x^2} } }\)
7 \(\arccos (x)\) \(- { 1 \over { \sqrt{1-x^2} }}\)
8 \(\arctan (x)\) \({ 1 \over { 1+x^2 }}\)
9 \(arccot(x)\) \(- { 1 \over { 1+x^2 }}\)
10 \(e ^x\) \(e ^x\)
11 \(a^x\) \(a^x \ln (a)\)
12 \(\ln (x)\) \(1 \over x\)
13 \(\log_{a} (x)\) \({1 \over x } \log_{a} (e) = {1 \over x} {1 \over \ln (a) }\)

id Funzione Regola di derivazione
1 \(k \cdot f(x)\) \(k \cdot f'(x)\)
2 \(f(x) + g(x)\) \(f'(x) + g'(x)\)
3 \(f(x) \cdot g(x)\) \(f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\)
4 \(f(x) \over g(x)\) \({ f'(x) g(x) - f(x) g'(x) } \over { \left( g(x) \right)^2 }\)
5 \(f \left( g(x) \right)\) \(f' \left( g(x) \right) g'(x)\)

Funzione Regola di derivazione
\(\left( f(x) \right) ^n\) \(n \left( f(x) \right) ^{n-1} f'(x)\)
\(e ^ { f(x) }\) \(e ^ { f(x) } f'(x)\)
\(\ln \left\vert f(x) \right\vert\) \({ f'(x) } \over { f(x) }\)