Raccolta di appunti sul calcolo infinitesimale e analisi matematica: derivate
Si deffinisce derivata \(f'(x)\) della funzione \(f(x)\) come limite (quando esiste) del rapporto incrementale con incremento \(h\) tendente a zero:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]
Geometricamente \(f'(x_0)\) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente a \(f(x)\) per \(x = x_0\) . Ovvero:
\( { { y - f(x_0) } \over { x - x_0 } } = f'(x_0) \)
Si definisce derivata sinistra:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0^-} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]
E derivata destra:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0^+} { { f(x_0 + h) - f(x_0) } \over h } \]
La derivata prima \(f'(x)\) indica dove una funzione \(f(x)\) è crescente o decrescente:
Studiando gli zeri ed il segno della derivata prima si possono individuare punti di massimo, minimo o flessi orizzontali. Dato un punto \(x_0\) in cui si annulla la derivata prima, si possono avere i seguenti casi:
prima di \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\), allora \(x_0\) è un massimo
prima di \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\), allora \(x_0\) è un minimo
prima di \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \gt 0\), allora \(x_0\) è un flesso orizzontale ascendente
prima di \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\) , dopo \(x_0\) \(f'(x) \lt 0\), allora \(x_0\) è un flesso orizzontale discendente
La derivata seconda \(f''(x)\) indica la concavità di una funzione \(f(x)\). Studiando gli zeri ed il segno della derivata seconda si possono individuare i flessi sia orizzontali, sia obliqui. Si possono avere i seguenti casi:
id | Funzione | Derivata |
---|---|---|
1 | \(kx^{\alpha}\) con \(k, \alpha \in \mathbb{R}\) | \(\alpha kx^{ \alpha -1}\) |
1.1 | \(k\) | \(0\) |
1.2 | \(x\) | \(1\) |
1.3 | \(\sqrt{x}\) | \(1 \over { 2 \sqrt{x} }\) |
1.4 | \(\sqrt[n]{x}\) con \(n \gt 0 , n \in \mathbb{N}\) | \(1 \over { n \sqrt[n]{ x^{n-1} } }\) |
2 | \(\sin (x)\) | \(\cos (x)\) |
3 | \(\cos (x)\) | \(- \sin(x)\) |
4 | \(\tan (x)\) | \(1 + \tan ^2(x) = { 1 \over { \cos ^2(x) } }\) |
5 | \(\cot (x)\) | \(-1- \cot ^2(x) = - { 1 \over { \sin ^2(x) } }\) |
6 | \(\arcsin (x)\) | \({ 1 \over { \sqrt{1-x^2} } }\) |
7 | \(\arccos (x)\) | \(- { 1 \over { \sqrt{1-x^2} }}\) |
8 | \(\arctan (x)\) | \({ 1 \over { 1+x^2 }}\) |
9 | \(arccot(x)\) | \(- { 1 \over { 1+x^2 }}\) |
10 | \(e ^x\) | \(e ^x\) |
11 | \(a^x\) | \(a^x \ln (a)\) |
12 | \(\ln (x)\) | \(1 \over x\) |
13 | \(\log_{a} (x)\) | \({1 \over x } \log_{a} (e) = {1 \over x} {1 \over \ln (a) }\) |
id | Funzione | Regola di derivazione |
---|---|---|
1 | \(k \cdot f(x)\) | \(k \cdot f'(x)\) |
2 | \(f(x) + g(x)\) | \(f'(x) + g'(x)\) |
3 | \(f(x) \cdot g(x)\) | \(f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\) |
4 | \(f(x) \over g(x)\) | \({ f'(x) g(x) - f(x) g'(x) } \over { \left( g(x) \right)^2 }\) |
5 | \(f \left( g(x) \right)\) | \(f' \left( g(x) \right) g'(x)\) |
Funzione | Regola di derivazione |
---|---|
\(\left( f(x) \right) ^n\) | \(n \left( f(x) \right) ^{n-1} f'(x)\) |
\(e ^ { f(x) }\) | \(e ^ { f(x) } f'(x)\) |
\(\ln \left\vert f(x) \right\vert\) | \({ f'(x) } \over { f(x) }\) |