Raccolta di appunti sugli insiemi ed il loro linguaggio matematico
Insieme : Collezione di oggetti/elementi caratterizzati da proprietà comuni. Normalmente un insieme è indicato con una lettera maiuscola.
Elemento : Oggetto appartenente ad un insieme. Normalmente un elemento è indicato con una lettera minuscola.
Rappresentazione di insiemi: esistono tre modi per rappresentare/definire un insieme:
A={a,b,c,d,...}
A={ lettere dell'alfabeto minuscole }
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Insieme finito/infinito : di un insieme finito è possibile elencare tutti gli elementi, mentre di un insieme infinito non è possibile.
Appartiene/Non Appartiene:
a∈A L'elemento a appartiene all'insieme A.
a∉A L'elemento b non appartiene all'insieme A.
Sottoinsieme: B è sottoinsieme ( ⊂ o ⊆ ) di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A. Si distinguono:
sottoninsieme proprio: Se ∀ b∈B , b∈A ⇒B⊂A
sottoninsieme improprio: Se ∀ b∈B , b∈A∧∀ a∈A , a∈B ⇒B⊆A
sono sottoinsiemi impropri l'insieme stesso e l'insieme vuoto
Insieme complementare: l'insieme complementare di B ( ˉB ) rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B
Insiem vuoto: indicato con ∅ è l'insieme senza elementi.
Intersezione: dati due insiemi A e B, si definisce intersezione tra A e B l'insieme degli elementi appartenenti ad A e a B. A∩B={a∈A∨a∈B}
Unione: dati due insiemi A e B, si definisce unione tra A e B l'insieme degli elementi appartenenti ad A o a B. A∪B={a∈A∧a∈B}
a∈A L'elemento a appartiene all'insieme A.
a∉A L'elemento b non appartiene all'insieme A.
A⊂B L'insieme A è incluso nell'insieme B.
Inclusione : Se ∀ a∈A , a∈B ⇒A⊂B
Intersezione: A∩B={a∈A∨a∈B}
Unione: A∪B={a∈A∧a∈B}
Differenza insiemistica: A∖B=A−(A∩B) A∖B≠B∖A