Insiemi

Raccolta di appunti sugli insiemi ed il loro linguaggio matematico

Terminologia e definizioni

Insieme : Collezione di oggetti/elementi caratterizzati da proprietà comuni. Normalmente un insieme è indicato con una lettera maiuscola.

Elemento : Oggetto appartenente ad un insieme. Normalmente un elemento è indicato con una lettera minuscola.

Rappresentazione di insiemi: esistono tre modi per rappresentare/definire un insieme:

elencazione: elencando tra parentesi graffe gli elementi dell'insieme

\(A = \{a, b, c, d, ... \}\)

proprietà caratteristica: dichiarando le proprietà che caratterizzano gli elementi dell'insieme

\(A = \{\) lettere dell'alfabeto minuscole \(\}\)

diagramma di Eulero-Venn: rappresentazione grafica che racchiude in una linea chiusa gli elementi dell'insieme

TODO: insert Eulero-Venn example

Insieme finito/infinito : di un insieme finito è possibile elencare tutti gli elementi, mentre di un insieme infinito non è possibile.

Appartiene/Non Appartiene:

\(a \in A\) L'elemento a appartiene all'insieme A.
\(a \notin A\) L'elemento b non appartiene all'insieme A.

Sottoinsieme: B è sottoinsieme ( \(\subset\) o \(\subseteq\) ) di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A. Si distinguono:

sottoninsieme proprio: Se \(\forall ~ b \in B\) , \(b \in A ~ \Rightarrow B \subset A\)
sottoninsieme improprio: Se \(\forall ~ b \in B\) , \(b \in A \land \forall ~ a \in A\) , \(a \in B ~ \Rightarrow B \subseteq A\)
sono sottoinsiemi impropri l'insieme stesso e l'insieme vuoto

Insieme complementare: l'insieme complementare di B ( \(\bar B\) ) rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B

Insiem vuoto: indicato con \(\emptyset\) è l'insieme senza elementi.

Intersezione: dati due insiemi A e B, si definisce intersezione tra A e B l'insieme degli elementi appartenenti ad A e a B. \(A \cap B = \{ a \in A \vee a \in B \}\)

Unione: dati due insiemi A e B, si definisce unione tra A e B l'insieme degli elementi appartenenti ad A o a B. \(A \cup B = \{ a \in A \wedge a \in B \}\)

Insiemistica

\(a \in A\) L'elemento a appartiene all'insieme A.
\(a \notin A\) L'elemento b non appartiene all'insieme A.
\(A \subset B\) L'insieme A è incluso nell'insieme B.

Inclusione : Se \(\forall ~ a \in A\) , \(a \in B ~ \Rightarrow A \subset B\)

Intersezione: \(A \cap B = \{ a \in A \vee a \in B \}\)

Unione: \(A \cup B = \{ a \in A \wedge a \in B \}\)

Differenza insiemistica: \(A \backslash B = A - ( A \cap B )\) \(A \backslash B \neq B \backslash A\)