BrNk
Studio di funzione
Funzione con esponenziali
\(\displaystyle y= e^ { {2-x} \over {x} } \)
Poichè compare x nel denominatore dell'esponente: \(x \neq 0\)
Dominio: \(\left( - \infty ; 0 \right) \cup \left( 0 ; + \infty \right)\)
\(f(-x) = e^ { {2+x} \over {-x} } \neq f(x)\) perciò non è pari
\(-f(-x) = -e^ { {2+x} \over {-x} } \neq f(x)\) perciò non è dispari
Intersezioni con l'asse x (zeri):
\( \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ y= e^ { {2-x} \over {x} } \end{array} \right. \)
Da cui
\(e^ { {2-x} \over {x} } = 0\) che non ha soluzioni. Perciò non ci sono intersezioni con l'asse x.
Intersezioni con l'asse y:
\( \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y= e^ { {2-x} \over {x} } \end{array} \right. \)
Da cui
\(y(0) = e^ { {2-0} \over {0} }\) che non ha soluzioni. Perciò non ci sono intersezioni con l'asse y.
\(y \gt 0\) quindi \(e^ { {2-x} \over {x} } \gt 0\)
La funzione esponenziale del tipo \(e^x\) è sempre positiva pertanto anche la funzione in esame è sempre positiva:
0
++++++|+++++++
\[ \lim_{ x \to - \infty} { e^ { {2-x} \over {x} } } = e^{ \left[ {+ \infty} \over { - \infty} \right] } = \lim_{ x \to - \infty} { e^ { { x \left( {2 \over x} - 1 \right) } \over {x} } } = e^{-1} = {1 \over e}\]
Quindi asintoto orizzontale di equazione \(y = { 1 \over e}\)
\[ \lim_{ x \to 0^-} { e^ { {2-x} \over {x} } } = e^{ - \infty } = 0^+\]
\[ \lim_{ x \to 0^+} { e^ { {2-x} \over {x} } } = e^{ + \infty } = + \infty\]
Quindi asintoto veticale di equazione \(x = 0\)
\[ \lim_{ x \to + \infty} { e^ { {2-x} \over {x} } } = e^{ \left[ {- \infty} \over {+\infty} \right] } = \lim_{ x \to - \infty} { e^ { { x \left( {2 \over x} - 1 \right) } \over {x} } } = e^{-1} = {1 \over e}\]
Quindi asintoto orizzontale di equazione \(y = { 1 \over e}\)
La funzione è composta e l'esponente è un rapporto.
\( y'= e^ { {2-x} \over {x} } \cdot { {-x - \left( 2-x \right) } \over {x^2} } \)
Semplificando:
\[ y' = - { {2 } \over {x^2} } e^ { {2-x} \over {x} }\]
\( \left\{ \begin{array}{l} y' = 0 \\ y' = - { {2 } \over {x^2} } e^ { {2-x} \over {x} } \end{array} \right. \)
Da cui
\(- { {2 } \over {x^2} } e^ { {2-x} \over {x} } = 0\) che non ha soluzioni. Perciò non ci sono zeri della derivata prima e quindi non ci sono nè massimi, nè minimi e nè flessi orizzontali.
\(y' \gt 0\) quindi \(- { {2 } \over {x^2} } e^ { {2-x} \over {x} } \gt 0\)
Bisogna studiare due termini separatamente e combinare insieme i segni:
\(- { {2 } \over {x^2} } \gt 0\) \(\Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}\)
\(e^ { {2-x} \over {x} } \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)
0
--------|-------
++++++++|+++++++
- | -
Dec. Dec.
\[ y'' = { { 4 } \over {x^3} } \left( { 1 \over x } + 1 \right) e^ { {2-x} \over {x} }\]
\( \left\{ \begin{array}{l} y'' = 0 \\ y'' = { { 4 } \over {x^3} } \left( { 1 \over x } + 1 \right) e^ { {2-x} \over {x} } \end{array} \right. \)
Da cui
\({ { 4 } \over {x^3} } \left( { 1 \over x } + 1 \right) e^ { {2-x} \over {x} } = 0\) e annullando i singoli fattori:
\({ { 4 } \over {x^3} } = 0\) \(\Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}\)
\({ 1 \over x } + 1 = 0\) \(\Rightarrow x = -1\)
\(e^ { {2-x} \over {x} } = 0\) \(\Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}\)
Per \(x = -1\) si ha un flesso obliquo (non essendo zero anche per la derivata prima).
\(y'' \gt 0\) quindi \({ { 4 } \over {x^3} } \left( { 1 \over x } + 1 \right) e^ { {2-x} \over {x} } \gt 0\)
Bisogna studiare il segno dei termini separatamente e combinarli insieme:
\({ { 4 } \over {x^3} } \gt 0\) \(\Rightarrow x \gt 0\)
\({ 1 \over x } + 1 \gt 0\) \(\Rightarrow x \lt -1 \lor x > 0\)
\(e^ { {2-x} \over {x} } \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)
-1 0
-------|-------|+++++++
+++++++|-------|+++++++
+++++++|+++++++|+++++++
- | + | +
Down Up Up
TODO