Studio di funzione

Funzione con radicali

\(\displaystyle y= \sqrt{ x^2 -9 } \)

Poichè compare una radice di espoente pari: \(x^2 - 9 \ge 0\)

\(\left( x + 3 \right) \left( x - 3 \right) \ge 0\)

Bisogna studiare due termini separatamente e combinare insieme i segni:

\(\left( x + 3 \right) \ge 0\) \(\Rightarrow x \ge -3\)

\(\left( x - 3 \right) \ge 0\) \(\Rightarrow x \ge 3\)

            -3      +3
     --------|+++++++|+++++++
     --------|-------|+++++++
        +    |   -   |   +

\(x \le 3 \lor x \ge 3\)

Dominio: \(\left( - \infty ; -3 \right] \cup \left[ 3 ; + \infty \right)\)

\(f(-x) = y= \sqrt{ (-x)^2 -9 } = f(x)\) perciò è pari

\(-f(-x) = y= - \sqrt{ (-x)^2 -9 } \neq f(x)\) perciò non è dispari

Intersezioni con l'asse x (zeri):

\( \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ y= \sqrt{ x^2 -9 } \end{array} \right. \)

Da cui

\(y= \sqrt{ x^2 -9 } = 0\)

\(x^2 -9 = 0\)

\(x = \pm 3\)

Intersezioni asse x: \(( -3 ; 0 )\) e \(( +3 ; 0 )\)

Intersezioni con l'asse y:

\( \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y= \sqrt{ x^2 -9 } \end{array} \right. \)

Da cui

\(x = 0\) è fuori dal dominio perciò non possono esistere intersezioni con l'asse y.

In alternativa si può svolgere il calcolo per verificare:

\(y(0)= \sqrt{ 0^2 -9 } = \sqrt{ -9 } \Rightarrow \nexists y \in \mathbb{R}\)

\(y \gt 0\) quindi \(\sqrt{ x^2 -9 } \gt 0\)

La radice di esponente pari del tipo \(\sqrt{x}\) è sempre positiva nel suo dominio pertanto anche la funzione in esame è sempre positiva. In alternativa lo studio del segno è identico allo studio del dominio.

            -3      +3
     --------|+++++++|+++++++
     --------|-------|+++++++
        +    |       |   +

\(x \le 3 \lor x \ge 3\)

\( \lim_{ x \to - \infty} { \sqrt{ x^2 -9 } } = + \infty \)

Possibile asintoto obliquo

\( m_1 = \lim_{ x \to - \infty} { { f(x) } \over x } = \lim_{ x \to - \infty} { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over x } = \left[ { { \infty } \over { \infty } } \right] = \lim_{ x \to - \infty} { { \vert x \vert \sqrt{ 1 - {9 \over x^2} } } \over x } = -1 \)

\( q_1 = \lim_{ x \to - \infty} { { f(x) } - m_1 x } = \lim_{ x \to - \infty} { { \sqrt{ x^2 -9 } } + x } = \left[ { { \infty } - { \infty } } \right] = \lim_{ x \to - \infty} { \left( { \sqrt{ x^2 -9 } } + x \right) { {\left( { \sqrt{ x^2 -9 } } - x \right)} \over {\left( { \sqrt{ x^2 -9 } } - x \right)} } } = \lim_{ x \to - \infty} { { x^2 -9 - x^2 } \over { { \sqrt{ x^2 -9 } } - x } } = 0^+ \)

Asintoto obliquo di equazione \(y = -x\)

\( \lim_{ x \to + \infty} { \sqrt{ x^2 -9 } } = + \infty \)

Possibile asintoto obliquo

\( m_2 = \lim_{ x \to + \infty} { { f(x) } \over x } = \lim_{ x \to + \infty} { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over x } = \left[ { { \infty } \over { \infty } } \right] = \lim_{ x \to + \infty} { { \vert x \vert \sqrt{ 1 - {9 \over x^2} } } \over x } = 1 \)

\( q_2 = \lim_{ x \to - \infty} { { f(x) } - m_2 x } = \lim_{ x \to - \infty} { { \sqrt{ x^2 -9 } } - x } = \left[ { { \infty } - { \infty } } \right] = \lim_{ x \to - \infty} { \left( { \sqrt{ x^2 -9 } } - x \right) { {\left( { \sqrt{ x^2 -9 } } + x \right)} \over {\left( { \sqrt{ x^2 -9 } } + x \right)} } } = \lim_{ x \to - \infty} { { x^2 -9 - x^2 } \over { { \sqrt{ x^2 -9 } } + x } } = 0^- \)

Asintoto obliquo di equazione \(y = x\)

\( y'= { { x } \over { \sqrt{ x^2 -9 } } } \)

\( \left\{ \begin{array}{l} y' = 0 \\ y'= { { x } \over { \sqrt{ x^2 -9 } } } \end{array} \right. \)

Da cui

\({ { x } \over { \sqrt{ x^2 -9 } } } = 0\)

\(x= 0\) Da escludere in quanto esterno al dominio

\(y' \gt 0\) quindi \({ { x } \over { \sqrt{ x^2 -9 } } } \gt 0\)

Bisogna studiare due termini separatamente e combinare insieme i segni:

\(x \gt 0\)

\({ \sqrt{ x^2 -9 } } \gt 0\) \(\Rightarrow \forall x \neq \pm 3\)

            -3       0       3
     --------|-------|+++++++|+++++++
     ++++++++o+++++++|+++++++o+++++++
        -    |       |       |   +
       Dec.                    Cres.

\( y''= - 9 { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over { \left( x^2 -9 \right)^2 } } \)

\( \left\{ \begin{array}{l} y'' = 0 \\ y''= - 9 { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over { \left( x^2 -9 \right)^2 } } \end{array} \right. \)

Da cui

\(- 9 { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over { \left( x^2 -9 \right)^2 } } = 0\)

\(\sqrt{ x^2 -9 } = 0\) \(\Rightarrow x = \pm 3\)

Per \(x = \pm 3\) si hanno inversioni di concavità, ma tali punti sono anche estremi del dominio e quindi non sono flessi

\(y'' \gt 0\) quindi \(- 9 { { \sqrt{ x^2 -9 } } \over { \left( x^2 -9 \right)^2 } } \gt 0\)

Bisogna studiare il segno dei termini separatamente e combinarli insieme:

\(- 9 \gt 0\) \(\Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}\)

\(\sqrt{ x^2 -9 } \gt 0\) \(\Rightarrow x \neq \pm 3\)

\(\left( x^2 -9 \right)^2 \gt 0\) \(\Rightarrow x \neq \pm 3\)

            -3       0       3
     --------|-------|-------|-------
     ++++++++o+++++++|+++++++o+++++++
     ++++++++o+++++++|+++++++o+++++++
        -    |       |       |   -
       Down                    Down

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