Integrale di funzione trigonometrica

Integrale di espressione trigonometrica

\(\displaystyle \int { \sin{x} \over { \sqrt{ 1 - \cos{x} } } } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { \sin{x} \over { \sqrt{ 1 - \cos{x} } } } dx = \)

Applicando il metodo di sostituzione con:

\(\displaystyle t = 1 - \cos{x} \)

Da cui conviene ricavare \(dx\) con le regole di derivazione:

\(\displaystyle dt = \sin{x} dx \)

\(\displaystyle dx = { dt \over \sin{x} } \)

L'integrale diventa quindi:

\(\displaystyle = \int { \sin{x} \over { \sqrt{ t } } } { dt \over \sin{x} } = \)

\(\displaystyle = \int { 1 \over { \sqrt{ t } } } dt = \int { t^{- 1/2 } } dt = \)

\(\displaystyle = { { t^{ 1/2 } } \over { 1/2 } } + C = 2 \sqrt{ t } + C = \)

\(\displaystyle = 2 \sqrt{ 1 - \cos{x} } + C \)