Integrale di arcsin

Integrale di espressione trigonometrica

$\displaystyle \int { \arcsin x } dx$

Soluzione:

$\displaystyle \int { \arcsin x } dx =$

Riscrivendo l'integrale nella seguente forma equivalente

$\displaystyle \int { 1 \cdot \arcsin x } dx =$

Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:

$f(x) = \arcsin x$ da cui $f'(x) = {1 \over { \sqrt{1- x^2 } }}$

$g'(x) = 1$ da cui $g(x) = x$

Applicando la regola di integrazione per parti:

$\displaystyle = x \arcsin x - \int { x \over { \sqrt{1- x^2 } } } dx =$

L'integrale rimanente si risolve con il metodo di sostituzione.

Ponendo $t = 1- x^2$ si ha $dt = -2x dx$ e quindi $dx = { dt \over { -2x} }$

Sostituendo si ottiene:

$\displaystyle = x \arcsin x - \int { { x \over { \sqrt{ t } } } \cdot { dt \over {-2x } } } =$

Semplificando $x$ all'interno dell'integrale e combinando i segni:

$\displaystyle = x \arcsin x + \int { 1 \over { 2 \sqrt{ t } } } dt =$

La radice è riconducibile ad una potenza:

$\displaystyle = x \arcsin x + { 1 \over 2 } \int { t^{- { 1 \over 2 }} } dt =$

Da cui si risolve l'integrale:

$\displaystyle = x \arcsin x + { 1 \over 2 } { { t^{ 1 \over 2 } } \over { 1 \over 2 } } + C =$

$\displaystyle = x \arcsin x + \sqrt{ t } + C=$

Ed infine, ripristinando la sostituzione di $t$ , si ottiene la soluzione:

$\displaystyle = x \arcsin x + \sqrt{ 1 - x^2 } + C$