Integrale di arcsin

Integrale di espressione trigonometrica

\(\displaystyle \int { \arcsin x } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { \arcsin x } dx = \)

Riscrivendo l'integrale nella seguente forma equivalente

\(\displaystyle \int { 1 \cdot \arcsin x } dx = \)

Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:

\(f(x) = \arcsin x\) da cui \(f'(x) = {1 \over { \sqrt{1- x^2 } }}\)

\(g'(x) = 1\) da cui \(g(x) = x\)

Applicando la regola di integrazione per parti:

\(\displaystyle = x \arcsin x - \int { x \over { \sqrt{1- x^2 } } } dx = \)

L'integrale rimanente si risolve con il metodo di sostituzione.

Ponendo \(t = 1- x^2\) si ha \(dt = -2x dx\) e quindi \(dx = { dt \over { -2x} }\)

Sostituendo si ottiene:

\(\displaystyle = x \arcsin x - \int { { x \over { \sqrt{ t } } } \cdot { dt \over {-2x } } } = \)

Semplificando \(x\) all'interno dell'integrale e combinando i segni:

\(\displaystyle = x \arcsin x + \int { 1 \over { 2 \sqrt{ t } } } dt = \)

La radice รจ riconducibile ad una potenza:

\(\displaystyle = x \arcsin x + { 1 \over 2 } \int { t^{- { 1 \over 2 }} } dt = \)

Da cui si risolve l'integrale:

\(\displaystyle = x \arcsin x + { 1 \over 2 } { { t^{ 1 \over 2 } } \over { 1 \over 2 } } + C = \)

\(\displaystyle = x \arcsin x + \sqrt{ t } + C= \)

Ed infine, ripristinando la sostituzione di \(t\), si ottiene la soluzione:

\(\displaystyle = x \arcsin x + \sqrt{ 1 - x^2 } + C \)