Integrale

Integrale di espressione logaritmica

\(\displaystyle \int { { 4x + 12 } \over { x^2 + 6x } } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { { 4x + 12 } \over { x^2 + 6x } } dx = \)

Fattorizzando \(2\), si riconosce che il numeratore è la derivata prima del denominatore:

\(\displaystyle = 2 \int { { 2x + 6 } \over { x^2 + 6x } } dx = \)

\(\displaystyle f(x) = x^2 + 6x \)

\(\displaystyle f'(x) = 2x + 6 \)

Si può pertanto integrare direttamente usando il \(\ln\) :

\(\displaystyle = 2 \ln \vert x^2 + 6x \vert + C = \)

Infine, applicando le regole dei logaritmi, si può eliminare il valore assoluto:

\(\displaystyle = \ln \left( x^2 + 6x \right)^2 + C \)