Integrale di espressione logaritmica
\(\displaystyle \int { { 4x + 12 } \over { x^2 + 6x } } dx \)
Soluzione:
\(\displaystyle \int { { 4x + 12 } \over { x^2 + 6x } } dx = \)
Fattorizzando \(2\), si riconosce che il numeratore è la derivata prima del denominatore:
\(\displaystyle = 2 \int { { 2x + 6 } \over { x^2 + 6x } } dx = \)
\(\displaystyle f(x) = x^2 + 6x \)
\(\displaystyle f'(x) = 2x + 6 \)
Si può pertanto integrare direttamente usando il \(\ln\) :
\(\displaystyle = 2 \ln \vert x^2 + 6x \vert + C = \)
Infine, applicando le regole dei logaritmi, si può eliminare il valore assoluto:
\(\displaystyle = \ln \left( x^2 + 6x \right)^2 + C \)