Integrale

Integrale di espressione logaritmica

\(\displaystyle \int { { \ln x } \over { x^2 } } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { { \ln x } \over { x^2 } } dx = \)

Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:

\(f(x) = \ln x\) da cui \(f'(x) = 1 / x\)

\(g'(x) = { 1 \over {x^2} } = x^{-2}\) da cui \(g(x) = - 1 / x\)

Applicando la regola di integrazione per parti:

\(\displaystyle = \ln x \cdot \left( - { 1 \over x } \right) - \int { { 1 \over x } \left( - { 1 \over x } \right) } dx = \)

\(\displaystyle = - { 1 \over x } \ln x + \int { { 1 \over {x^2} } } dx = \)

\(\displaystyle = - { 1 \over x } \ln x - { 1 \over x } + C = \)

\(\displaystyle = - { 1 \over x } \left( \ln x + 1 \right) + C \)