Integrale

Integrazione per parti di espressione esponenziale

\(\displaystyle \int { x \cdot e^{2-x} } dx \)

Soluzione:

\(\displaystyle \int { x \cdot e^{2-x} } dx = \)

Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:

\(f(x) = x\) da cui \(f'(x) = 1\)

\(g'(x) = e^{2-x}\) da cui \(g(x) = - e^{2-x}\)

Applicando la regola di integrazione per parti, ed applicando un segno "-" dentro e fuori dall'integrale:

\(\displaystyle = - \int { x \left( - e^{2-x} \right) } dx = \)

\(\displaystyle = - \left( x e^{2-x} - \int { e^{2-x} \cdot 1 } dx \right) + C = \)

\(\displaystyle = - \left( x e^{2-x} - \left( - e^{2-x} \right) \right) + C = \)

\(\displaystyle = - e^{2-x} \left( x + 1 \right) + C \)