Integrale di espressione esponenziale
\(\displaystyle \int { x e^{-x} } dx \)
Soluzione:
\(\displaystyle \int { x e^{-x} } dx = \)
Con riferimento alla regola di integrazione per parti, si identifichino:
\(f(x) = x\) da cui \(f'(x) = 1\)
\(g'(x) = e^{-x}\) da cui \(g(x) = - e^{-x}\)
Applicando la regola di integrazione per parti:
\(\displaystyle = x \cdot \left( - e^{-x} \right) - \int { 1 \cdot \left( - e^{-x} \right) } dx = \)
\(\displaystyle = - x e^{-x} - e^{-x} + C = \)
\(\displaystyle = e^{-x} \left( x + 1 \right) + C \)