BrNk
Integrale
Integrale con radicali
\(\displaystyle \int { 1 \over { \sqrt{ x } + 3 } } dx \)
Soluzione
\(\displaystyle \int { 1 \over { \sqrt{ x } + 3 } } dx = \)
Applicando il metodo di sostituzione con
\(\displaystyle t = \sqrt{ x } + 3 \)
Conviene ottenere \(x\) in funzione di \(t\) con i seguenti passaggi:
\(\displaystyle t - 3 = \sqrt{x} \)
\(\displaystyle x = \left( t - 3 \right) ^2 \)
Si ricava \(dx\) con le regole di derivazione :
\(\displaystyle dx = 2 \left( t - 3 \right) dt = \left( 2t - 6 \right) dt \)
L'integrale diventa quindi:
\(\displaystyle = \int { 1 \over { t } \left( 2t - 6 \right) } dt = \int { { 2t - 6 } \over { t } } dt = \)
\(\displaystyle = \int { \left( 2 - { 6 \over t } \right) } dt = \int { 2 } dt - 6 \int { 1 \over t } dt = \)
\(\displaystyle = 2 t - 6 \ln \vert t \vert + C = 2 \left( \sqrt{x} + 3 \right) - 6 \ln \vert \sqrt{x} +3 \vert + C = \)
\(\displaystyle = 2 \sqrt{x} + 6 - 6 \ln \vert \sqrt{x} +3 \vert + C = \)
Siccome \(C\) è una costante arbitraria, può inglobare il \(+ 6\):
\(\displaystyle = 2 \sqrt{x} - 6 \ln \vert \sqrt{x} +3 \vert + C \)