Integrale

Integrale con radicali

\(\displaystyle \int { 6 \over { \sqrt{ 8 - 3 x } } } dx \)

Soluzione

\(\displaystyle \int { 6 \over { \sqrt{ 8 - 3 x } } } dx = \)

Applicando il metodo di sostituzione con

\(\displaystyle t = \sqrt{ 8 - 3 x } \)

Conviene ottenere \(x\) in funzione di \(t\) con i seguenti passaggi:

\(\displaystyle t^2 = 8 - 3x \)

\(\displaystyle x = { { 8 - t^2 } \over 3 } \)

Si ricava \(dt\) :

\(\displaystyle dt = - { 1 \over 2 } { 1 \over \sqrt{ 8 - 3 x } } \cdot 3 \cdot dx = - { 3 \over 2 } { 1 \over \sqrt{ 8 - 3 x } } dx \)

E con formula inversa \(dx\) :

\(\displaystyle dx = - { 2 \over 3 } \sqrt{ 8 - 3 x } dt = - { 2 \over 3 } \sqrt{ 8 - 3 \left( { { 8 - t^2 } \over 3 } \right) } dt = - { 2 \over 3 } t dt \)

L'integrale diventa quindi:

\(\displaystyle = \int { { 6 \over { t } } \left( - { 2 \over 3 } t \right) } dt = \int { - 4 } dt = \)

\(\displaystyle = - 4 t + C = - 4 \sqrt{ 8 - 3 x } + C \)