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Equazione di grado superiore al secondo
Equazione di grado superiore al secondo
\(\displaystyle 4 x^3 + 2 x^2 - 2 x - 1 = 0 \)
Soluzione con scomposizione di Ruffini:
\(\displaystyle 4 x^3 + 2 x^2 - 2 x - 1 = 0 \)
Si applichi la divisione di Ruffini provando con i possibili divisori del termine noto. Dopo alcuni tentativi si trova che la divisione ha resto nullo se si usa come divisore:
\(\displaystyle x + { 1 \over 2 } \)
Da cui si avrà la seguente divisione di Ruffini:
\( \begin{array}{c|rrr|r} & 4 & 2 & -2 & -1 \\ \\ {- { 1 \over 2 }} & \downarrow & -2 & 0 & 1 \\ \hline & 4 & 0 & -2 & 0 \end{array} \)
Il polinomio si può quindi scomporre e ottenere:
\(\displaystyle \left( x + { 1 \over 2 } \right) \left( 4 x^2 - 2 \right) = 0 \)
Il prodotto di due termini è nullo se almeno uno dei due fattori è nullo, pertanto:
Dal primo fattore:
\(\displaystyle \left( x + { 1 \over 2 } \right) = 0 \)
\(\displaystyle x = - { 1 \over 2 } \)
Dal secondo fattore:
\(\displaystyle \left( 4 x^2 - 2 \right) = 0 \)
\(\displaystyle x^2 = { 2 \over 4 } = { 1 \over 2 } \)
\(\displaystyle x = \pm \sqrt{ { 1 \over 2 } } = \pm { 1 \over { \sqrt{ 2 } } } = \pm { \sqrt{ 2 } \over 2 } \)
Soluzione con fattorizzazione parziale:
\(\displaystyle 4 x^3 + 2 x^2 - 2 x - 1 = 0 \)
Si raccolga \(2 x^2\) dai primi 2 termini ed il segno \(-\) dagli altri due termini:
\(\displaystyle 2 x^2 \left( 2 x + 1 \right) - \left( 2 x + 1 \right) = 0 \)
Si può così fattorizzare \(2 x + 1\):
\(\displaystyle \left( 2 x + 1 \right) \left( 2 x^2 - 1 \right) = 0 \)
Il prodotto di due termini è nullo se almeno uno dei due fattori è nullo, pertanto:
Dal primo fattore:
\(\displaystyle \left( 2 x + 1 \right) = 0 \)
\(\displaystyle x = - { 1 \over 2 } \)
Dal secondo fattore:
\(\displaystyle \left( 2 x^2 - 1 \right) = 0 \)
\(\displaystyle x^2 = { 1 \over 2 } \)
\(\displaystyle x = \pm \sqrt{ { 1 \over 2 } } = \pm { 1 \over { \sqrt{ 2 } } } = \pm { \sqrt{ 2 } \over 2 } \)