Equazione di grado superiore al secondo

\(\displaystyle x^4 - x^2 - 6 = 0 \)

Soluzione:

\(\displaystyle x^4 - x^2 - 6 = 0 \)

Si sostituisca \(t = x^2\) :

\(\displaystyle t^2 - t - 6 = 0 \)

Si risolve quindi l'equazione di secondo grado risultante:

\(\displaystyle t_{1,2} = { { - (-1) \pm \sqrt{ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) } } \over { 2 \cdot 1 } } = { { 1 \pm 5 } \over 2 } \)

Da cui \(t_1 = 3\) e \(t_2 = -2\)

Ripristinando la sostituzione \(t = x^2\):

Con \(t_1 = 3\), si ha:

\(\displaystyle x^2 = 3 \)

\(\displaystyle x_{1,2} = \pm \sqrt{ 3 } \)

Mentre con \(t_2 = -2\), si ha:

\(\displaystyle x^2 = -2 \)

\(\displaystyle x_{3,4} = \pm \sqrt{ -2 } \)

\(\displaystyle x_{3,4} \notin \mathbb{R} \)

Ammetendo soluzioni complesse:

\(\displaystyle x_{3,4} = \pm i \sqrt{ 2 } \)