Espressione radicalica algebrica

\(\displaystyle \left[ \left( \sqrt{x - 1 } - { 1 \over { \sqrt{ x - 1 } } } \right) \left( \sqrt{x-2} + {1 \over { \sqrt{ x-2} } } \right) \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } \)

Condizione di esistenza (in \(\mathbb{R}\) ) :

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x -1 \geq 0 \\ \sqrt{x-1} \neq 0 \\ x-2 \geq 0 \\ \sqrt{x-2} \neq 0 \\ { {x-1} \over {x-2} } \geq 0 \\ \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } \neq 0 \end{array} \right. \)

Dalla 1^ e 2^ condizione si ha: \(x \gt 1\)

Dalla 3^ e 4^ condizione si ha: \(x \gt 2\)

La 5^ e la 6^ condizione si combinano anch'esse ed è necessario studiare separatamente numeratore e denominatore:

\(\displaystyle x-1 \gt 0\) \(\Rightarrow x \gt 1\)

\(\displaystyle x-2 \gt 0\) \(\Rightarrow x \gt 2\)

           1      2      
     ------|+++++++++++++
     ------|------|++++++
        +  |   -  |   +

Da cui \(x \lt 1 \lor x \gt 2\)

Perciò:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x \gt 1 \\ x \gt 2 \\ x \lt 1 \lor x \gt 2 \end{array} \right. \)

           1      2   
     ------|++++++|++++++
     ------|------|++++++
     ++++++|------|++++++
       no  |  no  |  si

L'espressione esiste in \(\mathbb{R}\) per \(x \gt 2\)

Soluzione:

\(\displaystyle \left[ \left( \sqrt{x - 1 } - { 1 \over { \sqrt{ x - 1 } } } \right) \left( \sqrt{x-2} + {1 \over { \sqrt{ x-2} } } \right) \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

Si applichi la razionalizzazione nella prima parentesi tonda

\(\displaystyle = \left[ \left( \sqrt{x - 1 } - { 1 \over { \sqrt{ x - 1 } } } \cdot { { \sqrt{ x - 1 } } \over { \sqrt{ x - 1 } } } \right) \left( \sqrt{x-2} + {1 \over { \sqrt{ x-2} } } \right) \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ \left( \sqrt{x - 1 } - { { \sqrt{ x - 1 } } \over { x - 1 } } \right) \left( \sqrt{x-2} + {1 \over { \sqrt{ x-2} } } \right) \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ { { ( x - 1 ) \sqrt{x - 1 } - \sqrt{ x - 1 } } \over { x - 1 } } \cdot { { (x -2) + 1 } \over { \sqrt{ x-2} } } \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ { { \left( ( x - 1 ) - 1 \right) \sqrt{x - 1 } } \over { x - 1 } } \cdot { { x - 1 } \over { \sqrt{ x-2} } } \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ { { ( x - 2 ) \sqrt{x - 1 }} \over { \sqrt{ x-2} } } \right] : \sqrt{ { x-1 } \over { x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ { { ( x - 2 ) \sqrt{x - 1 } } \over { \sqrt{ x-2} } } \right] : { \sqrt{ x-1 } \over \sqrt{ x-2 } } = \)

\(\displaystyle = \left[ { { ( x - 2 ) \sqrt{x - 1 } } \over { \sqrt{ x-2} } } \right] \cdot { \sqrt{ x-2 } \over \sqrt{ x-1 } } = \)

\(\displaystyle = x - 2 \)